Gadget

This content is not yet available over encrypted connections.

Friday, April 24, 2015

Marx học toán để làm gì?

Marx học toán để làm gì? Đó là câu hỏi đáng chú ý và cũng đã có nhiều người nghiên cứu. Song hầu hết là quan tâm về mặt toán học, Guglielmo Carchedi nhìn dưới một góc độ khác. Theo Carchedi đó là sự phát triển của phương pháp biện chứng, có ý nghĩa với khoa học xã hội hơn là đối với toán học. Điều này đáng chú ý khi mà hiện nay kinh tế chính trị học đang tìm cách thanh toán những nền tảng siêu hình mà nó nhiễm phải từ kinh tế học, và nửa bên kia là kinh tế học đã tha hóa thành một thứ toán học kinh tế phi lý. Đây là bản dịch phần phụ lục thứ ba "Marx's Mathematical Menuscripts" trong cuốn sách "Behind the Crisis: Marx's Dialectics of Value and Knowledge" của Guglielmo Carchedi do nhà xuất bản Brill ở Boston, Hoa Kỳ, phát hành năm 2011. Ai quan tâm có thể download bản scan của cuốn sách này tại trang gen.lib.rus, tôi không dẫn link để tôn trọng bản quyền của tác giả.

Bản dịch này xin được tặng cho bạn Thichthichiu, độc giả của trang này, vốn là người nghiên cứu toán học. Hy vọng bản dịch này sẽ giúp bạn sẽ hiểu rõ hơn về giới hạn của toán học trong nghiên cứu khoa học xã hội cũng như nguồn gốc ra đời của phong trào phản đối kinh tế học chính thống PAECON của sinh viên Pháp. Carchedi và những người thuộc phái biện chứng trong kinh tế chính trị học Marxist rất được chào đón ở PAECON.

Bản thảo toán học của Marx1

Sự xác thực tiếp theo về quan điểm biện chứng được đề cập tại Chương 1 có thể thấy trong Bản Thảo Toán Học của Marx.

Thông thường, các nhà bình luận tập trung vào bản thảo toán học để tìm hiểu phương pháp tính vi phân của Marx trên phương diện lịch sử toán học2. Một trong những câu hỏi được các nhà bình luận đưa ra là tại sao Marx bắt tay vào công việc nghiên cứu đó. Như đã được biết, Marx bị thúc đẩy một cách rõ ràng bởi sự quan tâm tới việc tính toán, do ông đã thừa nhận là kiến thức về toán học của ông không đủ để soạn tỉ mỉ các nguyên lý của kinh tế học.

Alcouffe cho rằng Marx thích toán học như vậy là do “sự rèn luyện mang tính chặt chẽ và trí tuệ”3 của nó cũng như khía cạnh giải trí, tiêu khiển và triết lý của toán học đối với Marx ít nhất là cũng quan trọng như sự mối bận tâm của ông đối với kinh tế học. Mặt khác, Yanovskaya, nhà bình luận quan trọng nhất về Bản thảo, đã nhận xét rằng Bản thảo không đưa ra câu trả lời về việc điều gì đã thúc đẩy Marx chuyển từ việc theo đuổi đại số và số học thương mại sang tính vi phân4. Marx dường như bị cuốn hút bởi nhiều mối bận tâm nên lập luận của Alcouffe loại trừ một cách không cần thiết lý do đã được Marx tuyên bố rõ ràng. Nhưng cũng có thể có lý do khác mang tính triết học hơn. Như chúng ta sẽ được thấy ở phía dưới, sự phê phán của Marx đối với việc tính vi phân và phát triển phương pháp riêng về vi phân tập trung vào bản chất tự nhiên của các vi đại lượng. Luận đề trong phần phụ lục này là Marx tìm kiếm sự cả sự hỗ trợ và vật liệu để tiếp tục phát triển phương pháp của ông về phân tích xã hội trong quá trình nghiên cứu phép toán vi phân. Từ góc nhìn này, Bản thảo đáng chú ý đối với các nhà khoa học xã hội  hơn là đối với các nhà toán học hay lịch sử toán học.

Bằng chứng đầu tiên về sự quan tâm của Marx đối với toán học nằm trong một lá thư gửi cho Engels vào năm 1858, trong đó ông viết: “Khi xây dựng các nguyên lý của kinh tế học, tôi đã bị chậm trễ khủng khiếp vì những sai lầm trong tính toán, để thoát khỏi sự tuyệt vọng thì tôi đã xem lướt lại môn đại số. Số học luôn là thứ xa lạ đối với tôi. Sau việc đi trật đường đại số, tôi đã nhanh chóng quay đầu trở lại”5. Vào năm 1863, ông lại viết cho Engels: “Trong thời gian rảnh, tôi tính vi phân và tích phân.”6  Đáng chú ý nhất là trong một bức thư khác gửi cho Engels mười năm sau đó (1873), ông đưa ra một ví dụ về nguyên lý kinh tế học mà ông đang suy nghĩ:

Tôi đã nói với Moore về vấn đề đôi lúc khiến tôi đau đầu. Mặc dù vậy, ông ấy cho rằng không thể giải quyết được, ít nhất là vào lúc này [pro tempore], bởi vì có rất nhiều yếu tố liên quan, các yếu tố mà đa phần vẫn chưa được khám phá. Vấn đề là: anh biết về các đồ thị thay đổi của giá cả, tỷ lệ chiết khấu, vv, trong năm, vv, được trình bày theo các đường zích zắc lên xuống. Tôi đã rất nỗ lực phân tích các cuộc khủng hoảng bằng cách coi các đường lên và xuống đó bất thường và tôi đã tin rằng (và vẫn tin rằng không khả thi nếu tài liệu không được nghiên cứu đầy đủ) tôi có thể xác định về mặt toán học những nguyên lý chi phối khủng hoảng. Như tôi đã nói, Moore cho rằng không thể hoàn thành vào lúc này và tôi giải quyết bằng cách tạm ngừng cho đến khi phù hợp7

Dưới ánh sáng của sự kiện “các nguyên lý chi phối khủng hoảng”, cũng như tất cả các quy luật xã hội, khuynh hướng và mâu thuẫn, “để xác định về mặt toán học” các quy luật là một việc không khả thi. Thứ nhất, toán học là một nhánh của logic hình thức, như đã thấy ở phía trên, các tiên đề của logic hình thức không thể mâu thuẫn. Mặc dù vậy, để nghiên cứu các quy luật vận động trong một xã hội thì phải bắt đầu từ các tiên đề mâu thuẫn (theo nghĩa là mâu thuẫn biện chứng như đã giải thích tại Chương 1 phía trên) và đây là lý do khiến quy luật vận động là khuynh hướng. Thứ hai, ngay cả khi tất cả “các yếu tố liên quan” được biết rõ thì về mặt thực tiễn cũng không thể tính toán tất cả chúng. Đây là lý do khiến các mô hình kinh tế lượng, ngay cả những mô hình liên kết được một nghìn quan hệ, cũng chỉ coi kết quả thảm hại đó là công cụ dự báo. Nhưng nếu không thể xác định quy luật khủng hoảng thuần túy bằng các khái niệm toán học thì chắc chắn vẫn có thể phân tích các vận động chu kỳ của các chỉ số kinh tế (lên và xuống) bằng việc sử dụng “toán học cao cấp hơn”. Đây là trực giác của Marx. 

Tại giao điểm này, hai câu hỏi khác được đặt ra. Thứ nhất, tại sao Marx không sử dụng vi phân trong nghiên cứu của ông? Theo Smolinski

Đối với ông ấy [Marx, G.C.] sự thật căn bản là hàng hóa có giá trị hoặc không, lao động là năng suất hoặc không, người tham gia vào quá trình kinh tế là một nhà tư bản hay một người vô sản, xã hội là tư bản hoặc xã hội chủ nghĩa. Đối với vũ trụ phân cực này thì các phép toán nhị phân là công cụ thích hợp hơn so với phép toán vi phân8.

Mặc dù vậy, Alcouffe bình luận rằng sơ đồ tái sản xuất và khuynh hướng đi suy giảm của tỷ suất lợi nhuận dễ xử lý với phương pháp toán học do Marx phát triển. Ví dụ như phép toán vi phân có thể được sử dụng để tính sự thay đổi tức thời của tỷ suất lợi nhuận9. Cả hai góc nhìn dường như đều có một phần của sự thật. Phép toán vi phân thực sự được áp dụng trong một số phần của lý thuyết kinh tế của Marx, nhưng câu hỏi là điều này có phù hợp. Hơn nữa, câu hỏi thích hợp không phải là tỷ suất lợi nhuận thay đổi tức thời ra sao mà là nó thay đổi ra sao dưới sự tác động qua lại biện chứng giữa khuynh hướng và phản khuynh hướng10. Giải thích có vẻ thích hợp hơn là Marx, cứ cho là rốt cuộc cũng thành thạo tính toán cho đến cuối đời,  không có đủ thời gian và cơ hội để viết ra những phân tích định lượng về đời sống kinh tế (ví dụ, chu kỳ kinh tế, những “đường zích zắc” mà ông viết trong lá thư phía trên).

Câu hỏi thứ hai là Marx đã áp dụng tính toán ra sao khi ông có thời gian và cơ hội để làm việc đó. Câu hỏi này không thể giải quyết bằng việc xem xét xem toán học đã được áp dụng vào việc lập kế hoạch kinh tế ra sao bởi những nền kinh tế kế hoạch tập trung trước đây. Như Smolinski tường thuật, “Theo một quan điểm được công nhận phổ biến, ảnh hưởng của Marx đã gây chậm chễ nhiều thập kỷ trong việc phát triển kinh tế học định lượng trong các hệ thống kinh tế kiểu Soviet, điều đó có thể nói là đã tác động bất lợi đối với hiệu quả hoạt động của họ.”11 Nhưng cũng như tác giả đã chỉ ra một cách chính xác, và cũng như Bản thảo đã cho thấy, Marx không hề tẩy chay tính toán và rất quan tâm tới ứng dụng của chúng trong kinh tế học. Sự thật là

các nhà kế hoạch hóa “cuồng toán học”, sử dụng cách thể hiện thích hợp của L. Kantorovich, đã đi tới một sự phân bổ sai lầm đáng kể nguồn lực thông bằng các quyết định không tối ưu …  Tổn thất trí tuệ của sự cấm kỵ trong câu hỏi này là khá lớn: giảm xuống trạng thái của một khoa học “định tính”, phi định lượng, kinh tế trì trệ … [Oskar Lange – G.C.] chỉ ra rằng kinh tế học Soviet đã hạ cấp thành một giáo điều cằn cỗi, mục đích chỉ là “biện hộ cho lợi ích riêng của tầng lớp quan liêu thống trị và xuyên tạc cũng như làm sai lệch hiện thực kinh tế.”Quá trình đó dẫn đến “một sự xa rời chủ nghĩa Marx … khoa học [kinh tế] Marxist bị thay thế bằng một chủ nghĩa biện hộ giáo điều.”12

Có một sự nhầm lẫn rõ ràng ở đây. Trong khi Marx không thể bị quy trách nhiệm về việc thiếu áp dụng toán học trong các nền kinh tế kiểu Soviet, và đồng thời sự thiếu áp dụng đó rõ ràng là một cản trở đối với việc vận hành hiệu quả một hệ thống kinh tế, lý do cho sự sụp đổ của Liên Bang Soviet và các nền kinh tế kế hoạch hóa tập trung kiểu Soviet khác nên tìm ở chỗ khác. Nói ngắn gọn, bất chấp đặc tính riêng của nó, trong đó có sự thiếu vắng thị trường, Liên Bang Soviet đã trở thành một hệ thống mà trong đó các tầng lớp chính trị/quản lý thực hiện chức năng của tư bản. Áp dụng các kỹ thuật lập kế hoạch là công cụ để phản ánh thị trường và hệ thống phân bổ, nhưng đồng thời cũng làm suy yếu vị thế của tầng lớp quan liêu và củng cố tầng lớp kỹ trị. Tuy nhiên, bên cạnh đó, việc áp dụng các kỹ thuật lập kế hoạch trong các nền kinh tế này là đối kháng với một hệ thống dựa trên sự tự quản lý kinh tế và xã hội của người lao động. Trái ngược với quan điểm của Smolinski, sự lựa chọn của nhà quản lý thường xuyên sai lầm không phải bởi vì họ “phản ánh học thuyết giá trị lao động sai lầm”13 mà bởi vì hệ thống tư bản chủ nghĩa ẩn mình trong đó cần thị trường làm hệ thống phân bổ hơn là bất cứ kiểu hệ thống phân bổ nào khác. Sự phân bổ tối ưu đối với tư bản chỉ có thể đạt được thông qua thị trường. Hệ thống do vậy bị suy yếu và không thể cạnh tranh với các nước tư bản phát triển14.

Đối với Marx, câu hỏi quan trọng ở đây không phải là có hay không và Marx đã áp dụng phép toán vi phân vào lý thuyết kinh tế ra sao. Điều này ít quan trọng. Hơn nữa, điểm chủ chốt là ngay cả khi Bản thảo không giải quyết mối quan hệ giữa phép biện chứng và phép toán vi phân thì phương pháp vi phân của Marx cũng cho phép khám phá quan điểm biện chứng về hiện thực của Marx. Các nhà bình luận Bản thảo đã không biết điều đó. Mặc dù vậy, sự khám phá này quan trọng hơn ở chỗ phương pháp tính vi phân của Marx là khía cạnh thật sự quan trọng của Bản thảo.

Hãy bắt đầu xem xét “Lebniz đi đến khái niệm đạo hàm … từ các nghiên cứu hình học.”15. Lấy y1=x13, bắt đầu bằng dx=x1–x0 và dy=y1–y0:
(1)   y1=x13 =(x0 + dx)3=x03+3x02dx+3x0(dx)2+(dx)3

Do y0=x03  nên 
(2)   y1=y0+3x02dx+3x0(dx)2+(dx)3

Do vậy 
(3)   y1-y0=dy=3x02dx+3x0(dx)2+(dx)3

Và chia cả hai vế cho dx thì thu được
(4)   dy/dx=3x02+3x0dx+(dx)2

Tại điểm này, theo Leibniz thì ta có thể giản lược dx ở vế bên phải do dx là đại lượng cực nhỏ. Qua đó thu được 
(5)   dy/dx =3x02 hay tổng quát hơn là 3x2

Vấn đề theo Marx là có hai phần. Thứ nhất là đạo hàm 3x02 đã xuất hiện trong phương trình (1), có nghĩa là trước khi đạo hàm, trước khi đặt dx bằng 0. Do vậy, để tính đạo hàm, các phần thu được trong phần bổ sung của đạo hàm lần thứ nhất [3x0dx + (dx)2 - G.C.] … phải được loại bỏ để thu được kết quả chính xác [3x02 - G.C.]16. Điều này là cần thiết để thu được kết quả chính xác thay vì kết quả bất kỳ17. Marx gọi đây là phương pháp “thần bí”. Thứ hai, nếu dx là một đại lượng cực nhỏ, và nếu nó không phải là số thường (hệ Archimed) thì tại sao ta được phép dùng quy luật của số thường, cụ thể là phép mở rộng nhị thức (x0 + dx)3. Tổng quát hơn nữa, trạng thái bản chất và lý thuyết của các đại lượng cực nhỏ là gì?

Để giải quyết những khó khăn đó, Marx tự phát triển phương pháp đạo hàm. Về cơ bản, phương pháp của Marx như sau. Cho một hàm số cụ thể như y=f(x), sau đó Marx cho x0 tiến tới x1. Cả x và y tăng tới một định lượng giới hạn, Δx và Δy, do dó quy luật của số thường có thể áp dụng được. Tỷ số Δy/Δx=[f(x1)–f(x0)]/(x1–x0) được ông gọi là đạo hàm tạm thời hay sơ bộ. Sau đó, ông cho x1 tiến tới x0, tức là x1–x0=0 và do đó y1–y0=0, qua đó giảm giá trị giới hạn tới đại lượng tối thiểu tuyệt đối. Đây là đạo hàm cuối cùng, dx/dy (để đạo hàm chỉ xuất hiện sau quá trình vi phân)18. Đại lượng x1 mặc dù thu được từ biến số x, không biến mất mà chỉ giảm xuống giá trị giới hạn tối thiểu của nó19. Hãy xem xét cách Marx tính đạo hàm của y=x3

Nếu x0 tăng tới x1, y0 tăng tới y1. Giả sử x1–x0=Δx và y1-y0=Δy 
(1)   Δy/Δx =(y1-y0)/(x1–x0)=(x13–x03)/(x1–x0).

Do 
(2)   (x13–x03)=(x1–x0)(x12+x1x0+x02)

Ta đem thay (2) vào (1) 
(3)   Δy/Δx =[(x1–x0)(x12+x1x0+x02)]/(x1–x0)

Và thu được đạo hàm sơ bộ 
(4)   Δy/Δx =x12+x1x0+x02

Đạo hàm cuối cùng do đó là “đạo hàm sơ bộ giảm tới đại lượng nhỏ tuyệt đối”20. Hai phương pháp cùng tạo ra một kết quả nhưng có nhiều sự khác nhau giữa chúng. Thứ nhất, “xuất phát điểm … là các cực đối lập cũng như phương pháp triển khai diễn ra”21. Trong trường hợp thứ nhất x0+dx=x1 (“phương pháp dương”); trong trường hợp thứ hai (Marx) thì x0 tăng tới x1, có nghĩa là x1–x0=Δx (“phướng pháp âm”22). “Một phương pháp thể hiện cùng một nội dung như phương pháp khác: dạng thứ nhất là Δx âm, dạng còn lại là số gia h dương”23. Trong phương pháp dương “khởi đầu chúng ta nhận định sự khác biệt mà sự đối lập của nó như là một tổng số24.Phương pháp thứ hai, trình tự cũng khác biệt: phân số Δy/Δx được chuyển đổi thành dy/dx và kết quả đạo hàm được thu được sau khi tính đạo hàm, sau khi x1 giảm tới đại lượng tối thiểu tuyệt đối. Trong phương pháp dương, “đạo hàm do đó không có cách nào thu được bằng phép toán vi phân trái lại mở rộng đơn giản hàm f(x+h) hay y1 trong một biểu hiện xác định thu được bằng phép nhân đơn giản”25. Có thể lập luận rằng những sự khác biệt này không đáng chú ý do cả hai đều chỉ sử dụng đại số sơ cấp và chia gia lượng của định lượng, y, phụ thuộc vào một đại lượng khác, x, bởi gia lượng của x26. Hơn nữa, từ quan điểm toán học, phương pháp của Marx là giới hạn về khả năng áp dụng “bởi vì thường là không thể chia f(x1)-f(x0) cho x1-x0.”27 Mặc dù vậy, cũng có thể lập luận rằng phương pháp của Marx đáng chú ý về mặt lịch sử. Phương thức tính toán của ông cho phép nhận thấy rằng dy/dx không phải là tỷ số giữ hai số 0 mà là một biểu tượng cho thấy trình tự trước hết là tăng x0 tới x1 (và do đó y0 tới y1) và sau đó giảm x1 (cùng với y1) tới giá trị tối thiểu, x0 và y0. Khám phá của Marx cho thấy dy/dx là một biểu tượng vận động đã thấy trước “một ý tưởng chỉ xuất hiện lại vào thế kỷ 20”28 Sự trình bày của Marx về dy/dx như là một biểu tượng vận động, “sự biểu hiện của một quá trình” và “biểu tượng của một quá trình hiện thực” là một thành tích thực sự, một sự phê phán nổi bật đối với những nền tảng “thần bí” của phép toán vi phân, đối với bản chất siêu hình của các vi đại lượng vừa không hữu hạn vừa không là 029.

Như đã trình bày, những xem xét này mang lại lợi ích nhỏ đối với mục đích hiện tại. Điểm mấu chốt là phân tích về phương pháp cho thấy sự thấu hiểu quan trọng đối với khái niệm của Marx về biện chứng như đã đề cập ở trên30. Hãy cùng xem xét những nguyên lý đã ẩn chứa trong Bản thảo. Thứ nhất, đối với Marx, khái niệm về các vi đại lượng, về một giới hạn gần đúng bằng 0, của một thứ không phải là số hay 0, cần phải phủ nhận như là “siêu hình”, như con quái vật “Chimera”. Trong phương pháp của ông, đầu tiên x0 tăng tới x1 (có nghĩa là bởi dx) và sau đó x1 giảm xuống x0, như vậy x1 không biết mất mà chỉ giảm tới giá trị giới hạn tối thiểu x0. Do vậy, dx, thay vì đồng thời vừa là 0 vừa không phải là 0, thì trước hết là một số thực và sau đó được đặt bằng 0. Đây là lý thuyết hóa quá trình hiện thực, nhất thời. Theo cách này, Marx thoát khỏi khái niệm “ma quỷ” về đạo hàm. Khái niệm dx=0 và dy=0 là biểu tượng của quá trình này, không phải là các số thực bị chia cho 031.

Thứ hai, trong phương pháp “dương”, vận động là kết quả của một đại lượng (nhỏ) (dx) thêm vào x0, là một hằng số. Có nghĩa là x0 vẫn được giữ nguyên là hằng số, do đó vận động và thay đổi chỉ tác động đến một phạm vi giới hạn của hiện thực32. Điểm khởi đầu là một hằng số, không vận động và thay đổi, đối với nó sự thay đổi chỉ được bổ sung như là phần phụ thêm. Đây là quan điểm hiện thực thống kê chỉ bị nhiễu loạn tạm thời bởi sự vận động, hơn nữa chỉ được áp dụng cho phần vô cùng nhỏ của hiện thực. Suy luận tương tự với cân bằng và phi cân bằng (sai lệch tạm thời khỏi cân bằng) trong khoa học xã hội với chủ nghĩa cận biên trong kinh tế là rõ ràng. dx được thêm x từ bên ngoài x. Sự vận động không được thúc đẩy bởi bản chất bên trong của cấu trúc mà là kết quả của các lực lượng bên ngoài. Phía sau “dạng dương” là giải thích thống kê về hiện thực, còn phía sau dạng kia là quan điểm động lực.  

Đối với Marx “x1 là sự gia tăng của bản thân x; sự tăng trưởng của nó không tách rời nó … Công thức này không tách biệt x, cụ thể là x1, khỏi dạng nguyên gốc trước khi tăng lên, từ x, nhưng nó cũng không tách biệt x khỏi phần gia lượng của nó”33. Trong phương pháp của Marx, đó là tổng thể, x0 vận động, nó tăng lên x1 bằng dx. Sự vận động từ x0 tới x1 (xuất phát điểm của Marx) và quay trở lại (điểm kết thúc) cho thấy một sự thay đổi trong toàn bộ hiện thực, ngay cả khi do tác động của một phần tối thiểu. x0 không thể tăng lên do Δx (hay dx) mà không biến thành x1; sự thay đổi trong một phần hiện thực (mặc dù là nhỏ) thay đổi toàn bộ hiện thực do sự liên hệ qua lại giữa tất các các phần cấu thành của hiện thực. Đây là quan điểm động lực mà theo đó sự thiếu vắng vận động cũng như thay đổi không có tác dụng. x0 có thể tăng tới x1 chỉ bởi vì x+dx đã hàm chứa trong x như là một trong những tiềm năng của nó. Sau đó, phương pháp của Marx hàm ý rằng x hàm chứa trong phạm vi bản thân x+dx, sau đó hiện thực hóa bản thân như là x+dx, nếu x+dx chuyển thành x thì nó lại trở thành tiềm năng nằm trong x. Ngay cả khi không được Marx khẳng định một cách rõ ràng thì phương pháp của ông giả định rằng quan điểm biện chứng được tạo áp dụng trong trường hợp này đã phân biệt giữa kết quả và tiềm năng34. Thực tế, đây có thể không phải là cách mà khái niệm dx của toán học hiện đại bất hòa với những mục đích này.

Đó là một khía cạnh, mặc dù vậy điều đó có thể trái ngược với khái niệm biện chứng được phát triển ở đây. Marx đề cập trong thoáng qua (chỉ một lần duy nhất) rằng phương pháp tiếp cận hai bước của đạo hàm là một ví dụ về phủ định của phủ định: “Toàn bộ khó khăn trong việc thấu hiểu tính toán vi phân (như phủ định của phủ định nói chung) nằm một cách chính xác ở chỗ xem xét nó tách biệt khỏi một phương pháp đơn giản ra sao và do đó dẫn tới các kết quả hiện thực”35. Điều này dương như là trong phép toán vi phân, nếu thoát khỏi phương pháp tiếp cận siêu hình, quay sang phủ định biện chứng”36. Một sự lựa chọn khác, người ta sẽ bị lôi cuốn vào việc xem xét nó như là ví dụ về việc Marx làm đỏm với phương thức trình bày kỳ dị kiểu Hegel. Nhưng Marx viết rằng ông đã làm đỏm với thuật ngữ của Hegel vào năm 1873 trong khi bản thảo đang xem xét được viết vào năm 1881.

Trích dẫn phía trên có thể giải thích theo hai cách khác nhau. Thứ nhất, có thể là Marx nghĩ rằng phủ định của phủ định là một khái niệm đúng cho cả khoa học tự nhiên và xã hội. Điều này sẽ mâu thuẫn với lý thuyết được thúc đẩy trong công trình này theo nghĩa là nó sẽ chỉ tập trung vào sự tương đồng có tính hình thức. Ví dụ, người ta có thể cho rằng x0 bị x1 phủ định và sau đó x1 lại bị x0 phủ định. Nhưng sự phủ định kép này hoàn toàn khác so với hiện thực xã hội. Sự vận động (1) chỉ là một sự thay đổi về lượng từ x0 tới x1 và ngược lại, có nghĩa là không có sự thay đổi về chất; và (2) không có giải thích về lực lượng tiềm tàng trong x0, khiến nó biến đổi thành x1 và ngược lại. Trong xã hội, giải thích phủ định của phủ định về khả năng các hiện tượng xã hội thay thế bản thân bằng cách tự tạo ra các điều kiện cho sự thay thế là nhờ bản chất mâu thuẫn của chúng. Đây không phải là môi trường của phép đạo hàm. Nếu đây là tình thế của Marx, ông sẽ đồng ý với Engels, người coi các quy luật biện chứng là “đúng với sự vận động trong tự nhiên và lịch sử nhân loại và với sự vận động của tư duy”37. Mặc dù vậy, nếu câu hỏi là giải thích sự mâu thuẫn, vận động mâu thuẫn, thì không có sự phủ định của phủ định trong quá trình đạo hàm cũng như không có sự phủ định của phủ định trong toán học.

Lập luận toán học dựa trên logic hình thức, thứ logic loại trừ các mâu thuẫn và do đó là vận động mâu thuẫn. Marx đồng ý rằng toán học có thể giải thích sự vận động: “phương pháp đại số … [là] sự đối lập rõ ràng [của] phương pháp vi phân”38 bởi vì phương pháp thứ nhất là phân tích về đại lượng thống kê trong khi phương pháp thứ hai phân tích sự thay đổi của các đại lượng. Mặc dù vậy, bất chấp sự khác biệt này, cả hai nhánh của toán học cùng có một đặc trưng là làm việc với các đại lượng và do đó là sự thay đổi về lượng mà không thể có thay đổi về chất và mâu thuẫn. Nếu toán học chỉ làm việc với định lượng thì nó chỉ làm việc trong vương quốc của hiện thực hóa (tức là không ở trong vương quốc của khả năng). Do đó, nó không thể xử lý các mâu thuẫn biện chứng và sự thay đổi về chất. Toán học trừu tượng hóa các hiện thực cụ thể. Các khái niệm của nó có thể áp dụng cho mọi vương quốc hiện thực có thể định lượng và vì lý do này nó không tìm kiếm sự xác thực trong các sự vật cụ thể. Mặt khác, logic biện chứng là sự tập trung mang tính lý thuyết của hiện thực cụ thể (xem Chương 1, Phần 7). Vì lý do đó, nó tìm kiếm sự xác thực trong hiện thực đó. Nhưng cũng có khả năng là Marx đề cập tới sự phủ định của phủ định, trong cả khoa học tự nhiên và xã hội, cùng chung đặc điểm là dẫn tới “kết quả hiện thực”, bất chấp sự khác biệt của chúng. Trong trường hợp này, sẽ có một sự đồng thuận với lý thuyết hiện tại về quy định biện chứng.      

Bất kể thế nào, kết luận quan trọng là Marx tính vi phân với con mắt của nhà khoa học xã hội, của nhà biện chứng học. Phương pháp vi phân của ông phản ánh một quá trình hiện thực, nhất thời mà trong đó một trường hợp thực (một số thực) không thể đồng thời là một trường hợp thực khác (số 0) và trong đó sự vận động tác động tới tổng thể thay vì chỉ là một phần và kết quả của sự tác động qua lại giữa các tiềm năng và đó là thứ được hiện thực hóa. Phương pháp tính vi phân của Marx chỉ phù hợp với phương pháp tiếp cận động lực và nhất thời (và không phù hợp với phương pháp tiếp cận mà trong đó thời gian không tồn tại, như phương pháp đồng thời trong kinh tế học), tổng quát hơn, với khái niệm biện chứng như đã trình bày. Kết luận này rất phù hợp với tranh luận giữa các nhà Marxist cho rằng trong lý thuyết của Marx thì thời gian là sự kết hợp cần thiết của động lực, một hệ thống không cân bằng và những người trung thành với một hệ thống không có thời gian và vận động (xem Chương 2 phía trên). Câu hỏi không phải là phương pháp của Marx (bất kể trường hợp nào, chính xác trong giới hạn của nó) có phù hợp với toán học hay lịch sử của toán học hay không39. Câu hỏi phải là Bản thảo có thực sự phù hợp với các nhà khoa học xã hội quan tâm đến việc khám phá và tiếp tục phát triển khái niệm biện chứng của Marx như là phương pháp nghiên cứu xã hội và là một công cụ để thay đổi xã hội hay không.

Chú thích

1 Phụ lục này được chỉnh sửa từ bài viết của Carchedi ở 2008a và của Carchedi ở 2008b. Hai phiên bản trước nhận được những bình luận của Hans van den Bergh, giáo sư toán học tại trường đại học Wagenningen, của Josephn Dauben, giáo sư (Distinguished Professor) về lịch sử và lịch sử khoa học, đại học Thành Phố New York, và Alain Alcouffe, giáo sư khoa học xã hội, đại học Toulouse. Sự thay đổi đã được báo trước. Xem Carchedi 2008b.

2 Xem Alcouffe 1985 và 2001; Antonova 2006; Blunden 1984; Engels 1983 và 1987; Gerdes 1985; Yanovskaya 1969 và 1983; Kennedy 1977; Lombardo Radice 1972; Smolinski 1973.

3 Alcouffe 1985, trang 40–41.

4 Yanovskaya 1969, trang 23.

5 Marx 1978.

6 Marx 1974.

7 Marx 1976.

8 Smolinski 1973, trang 1199.

9 Alcouffe 1985, trang 37.

10 Điểm này khác với quan điểm của Alcouffe là xử lý toán học hình thức đối với quy luật khuynh hướng tỷ suất lợi nhuận suy giảm sẽ được “đặc biệt hoan nghênh” (sách đã dẫn).

11 Smolinski 1973, trang 1189.

12 Sách đã dẫn

13 Smolinski 1973, trang 1190.

14 Carchedi 1987. Theo Dauben, “Nghiên cứu Bản thảo Toán học của Marx có tác động chủ chốt đối với nghiên cứu của Soviet trong lịch sử và triết học về toán học, khởi đầu vào những năm 1930. Điều này là thật trong lịch sử toán học, khi mà hầu như toàn bộ các công trình công bố giữa năm 1930 và 1950 đều liên quan đến bản thảo. Mặc dù vậy, lịch sử của toán học cũng nhận được sự thúc đẩy đáng kể nhờ những gì Marx đã viết … Do vậy sự đáng chú ý của khám phá và nghiên cứu bản thảo toán học của Marx ở Liên Bang Soviet có thể đánh giá theo nhiều phương diện khác nhau. Đánh giá về việc các công trình biên tập về bản thảo đã thúc đẩy nghiên cứu trong những năm 1930 của lịch sử toán học, hiệu ứng của việc đó là tích cực. Đặc biệt là bản thảo cung cấp một nhân tố căn bản cho việc nghiên cứu nghiêm túc lịch sử của phân tích. Cũng có thể rút ra là để thừa nhận Marx hoàn toàn thì cần phải nghiên cứu lịch sử toán học một cách tổng quát. Đáng tiếc là đối các nền tảng toán học liên quan được quan tâm thì Marx và bản thảo hầu như chỉ có tác động tiêu cực. Điều này là do khuynh hướng ban đầu của các nghiên cứu cơ bản tập trung hầu hết vào việc diễn giải biện chứng toán học theo học thuyết cơ bản của Marx. Đối với sự tự phát triển nội tại và kỹ thuật của toán học, bản thảo của Marx dường như không đóng một vai trò đáng kể nào, dù là tích cực hay tiêu cực”. Dauben 2003, trang 2-3.

15 Gerdes 1985, trang 24–30. Xem Struik 1948, trang 187 và ff.

16 Marx 1983a, trang 91.

17 Sách đã dẫn

18 Về công thức chính xác hơn trên phương diện toán học trong phương pháp của Marx, xem Marx 1983a, ghi chép 7, trang 195–6.

19 Marx 1983a, trang 7; bổ sung gạch chân.

20 Sách đã dẫn

21 Marx 1983a, trang 68.

22 Marx 1983a, trang 88.

23 Marx 1983a, trang 128.

24 Marx 1983a, trang 102.

25 Marx 1983a, trang 104.

26 Tôi biết ơn Hans van den Berg về trao đổi cá nhân.

27 Gerdes 1985, trang 7.

28 Kolmogorov, được trích dẫn trong Gerdes trang 75. Theo Lombardo Radice, Marx không biết gì về các cơ sơ quan trọng của giải tích, từ Cauchy tới Weierstrass, đó là điều khẳng định “thiên tài” của ông trong việc phê phán độc lập nền tảng “thần bí” của phép toán (Lombardo Radice 1972, trang 274).

29 Lombardo Radice, được trích dẫn trong Ponzio 2005, trang 23.

30 Quan điểm này khác với diễn giải của Alcouffe rằng “hình thức hóa một khoa học xã hội, nhất là một khoa học phế phán” phải được tìm kiếm trong tác phẩm Khoa học về Logic của Hegel (Alcouffe 1985, trang 104). Như đã lập luận phía trên, nhất là tại Chương 1, cần phải tìm kiếm và bóc tách từ công trình của Marx.

31 Điều tương tự được Yanovskaya đưa ra. Theo Gerdes, “một số nhà khoa học giải thích các vi đại lượng hay các đại lượng vô cùng nhỏ theo khái niệm về bản chất biện chứng của đối lập – vừa bằng 0 vừa khác 0. Yanovskaya gọi các nhà khoa học này là “Marxist giả hiệu” do họ quên mất rằng chủ nghĩa duy vật biện chứng không thừa nhận mâu thuẫn thống kê (=0 và #0), mà chỉ thừa nhận mâu thuẫn liên hệ với vận động.” (Gerdes 1985, trang 115-116).

32 Trong một lá thư gửi Marx vào năm 1882, Engels viết: “sự khác biệt căn bản giữa phương pháp của anh và phương pháp cũ là anh cho x thay đổi sang x’, do đó làm cho chúng thật sự biến đổi, trong khi cách kia bắt đầu bằng x+h, luôn chỉ là tổng của hai số lượng, nhưng không bao giờ là sự biến thiên của một số lượng.” Engels 1983, trang xxix.

33 Marx 1983a, trang 86.

34 Trái lại, trong hiện thực xã hội, một sự hiện tượng xã hội có thể giảm về kích thước tới một điểm khi nó trở thành hiện tượng cá biệt, một hiện tượng xã hội tiềm năng. Nhưng trong hiện thực xã hội thì khái niệm về vi đại lượng là vô nghĩa.

35 Marx 1983a, trang 3.

36 Ponzio 2005, trang 33. Xem Kennedy 1977, trang 311.

37 Được trích dẫn trong Gerdes 1985, trang 88.

38 Marx 1983a, trang 21.

39 Dauben gợi lên sự chú ý tới mối liên hệ giữa phân tích phi chuẩn mực và Bản thảo Toán học của Marx ở Trung Quốc: “Gần một thế kỷ sau Marx, các nhà toán học Trung Quốc đã liên kết một cách rõ ràng tư tưởng Marxist và các nền tảng toán học thông qua một chương trình mới diễn giải phép toán sử dụng vi lượng, như Marx đã dự báo, nhưng hiện giờ là theo các khái niệm chặt chẽ của phân tích phi chuẩn mực, phát minh của Abraham Robinson vào những năm 1960. Trong thời kỳ Cách mạng Văn hóa (1966-1976), toán học bị hoài nghi ở Trung Quốc do quá trừu tượng, tách biệt khỏi mối quan tâm của người bình thường và nỗ lực đáp ứng các nhu cầu thiết yếu của đời sống trong một xã hội hầu hết là nông nghiệp. Mặc dù vậy, khi các nhà toán học Trung Quốc khám phá ra bản thảo toán học của Karl Marx, chúng dường như đem lại một cơ sở mới mẻ để biện minh cho toán học trừu tượng, đặc biệt là liên quan tới các đánh giá cơ bản và mang tính phê phán của phép toán” (Dauben 2003, trang 328). Lưu ý rằng điều này dường như không đưa ra câu trả lời cho vấn đề câu hỏi quan trọng của Marx là gì, tức là bản chất tự nhiên của các vi đại lượng hay số lớn. Giả thuyết về một “đám mây” các số siêu thực trôi nổi li ti gần với mỗi con số trên đường *R không trả lời câu hỏi của Marx. 

13 comments:

  1. Em cám ơn anh về bài dịch, vinh dự quá đi mất :))

    Cá nhân em cũng nghĩ Toán học mà áp dụng vào kinh tế thì cũng nên chừng mực, không thể nào quy hết kinh tế thành toán học được. Lý do rất đơn giản: xã hội có khả năng phản ứng và tự điều chỉnh, giống như là mỗi người VN đều không có lương đủ sống, nhưng ai cũng sống, tức là họ biết điều chỉnh.

    Nếu một mô hình toán cứng nhắc có thể dùng để nghiên cứu kinh tế và để làm lợi kinh tế thì chắc chắn phải có sự phản ứng và điều chỉnh bên trong xã hội, vậy thì lại phải nghiên cứu mô hình mới v.v.

    Đọc bài viết này thì em thấy là câu hỏi nên quan tâm là khi nào áp dụng được Toán vào nghiên cứu kinh tế.

    Em cũng khá ngạc nhiên là Mác cũng có đọc nhiều Toán. Trước em có đọc đâu đó Ăng-ghen nói rằng Mác cũng rất khá Toán, nhưng chưa thấy bằng chứng. Nay thì em biết tìm ở tác phẩm nào rồi.

    Về cuốn sách của Guglielmo Carchedi, bạn đọc có thể lên libgen.in để tải về, bản gốc pdf, ngon lành hơn bản scan mà anh Nỡm đề cập ở trên :-P

    ReplyDelete
  2. Toán học là môn khoa học cơ bản. Toán học ứng dụng được rất nhiều lĩnh vực trong cuộc sống và nghiên cứu. Vì vậy mà ai cũng cần phải có cho mình kiến thức cơ bản về toán học.

    ReplyDelete
  3. Em muốn hỏi tẹo. Trong cuốn sách của Carchedi có từ này

    1. Hegelian Marxism: nên dịch như thế nào anh nhỉ?

    2. Objective production: nên dịch như thế nào? Sản xuất khách quan chăng?

    3. Carchedi lập luận ở một số tình huống sản xuất tri thức (knowledge) cũng là sản xuất giá trị & giá trị thặng dư. Như vậy những người làm nghiên cứu khoa học cũng có thể tạo ra giá trị & giá trị thặng dư?

    Em đang đọc từng phần cuốn sách, thấy khá hay. Lần sau anh có cuốn nào hay thì giới thiệu cho mọi người đọc nhé :D Em cám ơn anh :D

    ReplyDelete
    Replies
    1. 1. Chủ nghĩa Marx kiểu Hegel.
      2. Sản xuất vật chất
      3. Sỡ dĩ có điều đó là bởi vì Carchedi phủ nhận sự phân chia lao động chân tay và lao động trí óc, ông ấy coi mọi lao động là sự thống nhất giữa cơ bắp và trí óc đồng thời đưa ra khái niệm physical labour và mental labour. Trong sản xuất thì lao động supervision vẫn tạo ra giá trị vì nó là một phần của collective labour, thế nên nếu mental labour tạo ra knowledge mà là một thành phần của collective labour thì nó cũng tạo ra giá trị. Chú ý là lao động đảm nhiệm các chức năng của tư bản thì không thuộc về collective labour nên không tạo ra giá trị.

      Delete
    2. Sách thì có nhiều, từ từ mình sẽ giới thiệu.

      Delete
  4. Em muốn hỏi anh chút.

    1) Trong cuốn sách của G. Carchedi, tác giả cho rằng tri thức là vật chất, và phê phán Lenin và chủ nghĩa Marx-Lenin không coi tri thức, ý thức là vật chất. Anh có đồng ý với ý kiến đó không ạ?

    2) Em băn khoăn câu hỏi về lao động của giáo viên.
    - Giáo viên khi soạn bài, và giảng bài cho người học, thì lao động đó có được gọi là sản xuất tri thức và tạo ra giá trị không? Em nghĩ là không, vì giảng bài cũng là dựa trên tri thức cũ và trình bày lại, chưa có tri thức mới. Tuy nhiên em cũng băn khoăn chút là có một phần tri thức mới ở đây là chọn cách trình bày dễ hiểu để đạt hiệu quả cao nhất.
    - Nhưng nếu vậy, cũng bài giảng đó, được làm chi tiết hơn, và viết thành sách, và bán được, thì có thể công việc đó vẫn là sản xuất ra tri thức, và có giá trị (với tư cách hàng hóa)?

    Theo anh thì em có nhầm lẫn gì ở đây không ạ?

    ReplyDelete
    Replies
    1. 1) Đó mới chỉ là giả thiết, còn phải nghiên cứu nhiều, chưa thể trả lời ngay được, vào thời của Marx và Lenin thì vấn đề đó chưa được đặt ra vì trình độ sản xuất chưa phát triển như bây giờ.
      2) Chỉ có lao động sản xuất mới tạo ra giá trị, lao động của giáo viên thuộc lĩnh vực dịch vụ, không tạo ra giá trị. Dịch vụ này vô hình và bị giới hạn theo không gian cũng như thời gian sử dụng. Việc tạo ra kiến thức mới chỉ là phục vụ cho mục đích của giáo viên, tức là để truyền tải kiến thức cho người khác nhanh và hiệu quả nhất, vì vậy nó không phải là giá trị sử dụng đối với người khác, không đem bán cho người khác được nên nó không có giá trị.
      3) Khi viết thành sách và đem bán trên thị trường thì lao động đó lại là lao động sản xuất vì khi đó lao động của giáo viên được kết hợp với hàng loạt lao động cụ thể khác người lao động trong lĩnh vực xuất bản, in ấn, vận tải...để tạo ra một sản phẩm vật chất hữu hình.

      Delete
    2. Chú ý là tri thức và ý thức là hai khái niệm rất khác nhau đấy. Tri thức là vật chất thì còn phải xem xét nhưng coi ý thức là vật chất thì lại rơi vào chủ nghĩa duy vật tầm thường, thứ đã bị Marx và Lenin đánh đổ từ lâu.

      Delete
    3. Em cám ơn anh nhiều. Như vậy hình dung của em khá hơn trước kia rồi :D

      Thế anh có nhớ Marx và Lenin bàn về chủ nghĩa duy vật tầm thường (trong sách của G. Carchedi thì ông ý hình như dùng từ vulgar materialism) trong tác phẩm nào không ạ?

      Delete
    4. À, đúng là em chưa có được trong tay định nghĩa chính xác của tri thức & ý thức? Nhân tiện nếu anh có chỗ tham khảo thì chỉ cho em với :D

      Delete
    5. Tư duy của bạn vẫn mang nhiều dấu ấn của khoa học tự nhiên, luôn bắt đầu bằng khái niệm. Khoa học xã hội thì bắt đầu bằng mối quan hệ chứ không phải là khái niệm. Về triết học thì thường là hai cuốn: Ludwig Feuerbach và sự cáo chung của triết học cổ điển Đức của Mar và Engel; Chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa kinh nghiệm phê phán của Lenin. Nhưng theo mình quan sát thì với tâm trạng hiện nay của bạn thì có lẽ bạn nên bắt đầu với cuốn Hệ Tư Tưởng Đức của Mar và Engel sẽ hợp lý hơn.

      Delete
    6. Cám ơn anh đã chỉ dẫn :D

      Delete