Marx học toán để làm gì? Đó là câu hỏi đáng chú ý và cũng đã có nhiều người nghiên cứu. Song hầu hết là quan tâm về mặt toán học, Guglielmo Carchedi nhìn dưới một góc độ khác. Theo Carchedi đó là sự phát triển của phương pháp biện chứng, có ý nghĩa với khoa học xã hội hơn là đối với toán học. Điều này đáng chú ý khi mà hiện nay kinh tế chính trị học đang tìm cách thanh toán những nền tảng siêu hình mà nó nhiễm phải từ kinh tế học, và nửa bên kia là kinh tế học đã tha hóa thành một thứ toán học kinh tế phi lý. Đây là bản dịch phần phụ lục thứ ba "Marx's Mathematical Menuscripts" trong cuốn sách "Behind the Crisis: Marx's Dialectics of Value and Knowledge" của Guglielmo Carchedi do nhà xuất bản Brill ở Boston, Hoa Kỳ, phát hành năm 2011. Ai quan tâm có thể download bản scan của cuốn sách này tại trang gen.lib.rus, tôi không dẫn link để tôn trọng bản quyền của tác giả.
Bản dịch này xin được tặng cho bạn Thichthichiu, độc giả của trang này, vốn là người nghiên cứu toán học. Hy vọng bản dịch này sẽ giúp bạn sẽ hiểu rõ hơn về giới hạn của toán học trong nghiên cứu khoa học xã hội cũng như nguồn gốc ra đời của phong trào phản đối kinh tế học chính thống PAECON của sinh viên Pháp. Carchedi và những người thuộc phái biện chứng trong kinh tế chính trị học Marxist rất được chào đón ở PAECON.
Bản
thảo toán học của Marx1
Sự xác
thực tiếp theo về quan điểm biện chứng được đề cập tại Chương 1 có thể thấy
trong Bản Thảo Toán Học của Marx.
Thông
thường, các nhà bình luận tập trung vào bản thảo toán học để tìm hiểu phương
pháp tính vi phân của Marx trên phương diện lịch sử toán học2. Một
trong những câu hỏi được các nhà bình luận đưa ra là tại sao Marx bắt tay vào
công việc nghiên cứu đó. Như đã được biết, Marx bị thúc đẩy một cách rõ ràng bởi
sự quan tâm tới việc tính toán, do ông đã thừa nhận là kiến thức về toán học của
ông không đủ để soạn tỉ mỉ các nguyên lý của kinh tế học.
Alcouffe
cho rằng Marx thích toán học như vậy là do “sự rèn luyện mang tính chặt chẽ và
trí tuệ”3 của nó cũng như khía cạnh giải trí, tiêu khiển và triết lý
của toán học đối với Marx ít nhất là cũng quan trọng như sự mối bận tâm của ông
đối với kinh tế học. Mặt khác, Yanovskaya, nhà bình luận quan trọng nhất về Bản
thảo, đã nhận xét rằng Bản thảo không đưa ra câu trả lời về việc điều gì đã
thúc đẩy Marx chuyển từ việc theo đuổi đại số và số học thương mại sang tính vi
phân4. Marx dường như bị cuốn hút bởi nhiều mối bận tâm nên lập luận
của Alcouffe loại trừ một cách không cần thiết lý do đã được Marx tuyên bố rõ
ràng. Nhưng cũng có thể có lý do khác mang tính triết học hơn. Như chúng ta sẽ
được thấy ở phía dưới, sự phê phán của Marx đối với việc tính vi phân và phát
triển phương pháp riêng về vi phân tập trung vào bản chất tự nhiên của các vi đại lượng. Luận đề trong phần phụ lục
này là Marx tìm kiếm sự cả sự hỗ trợ và vật liệu để tiếp tục phát triển phương
pháp của ông về phân tích xã hội trong quá trình nghiên cứu phép toán vi phân.
Từ góc nhìn này, Bản thảo đáng chú ý đối với các nhà khoa học xã hội hơn là đối với các nhà toán học hay lịch sử
toán học.
Bằng
chứng đầu tiên về sự quan tâm của Marx đối với toán học nằm trong một lá thư gửi
cho Engels vào năm 1858, trong đó ông viết: “Khi xây dựng các nguyên lý của
kinh tế học, tôi đã bị chậm trễ khủng khiếp vì những sai lầm trong tính toán, để
thoát khỏi sự tuyệt vọng thì tôi đã xem lướt lại môn đại số. Số học luôn là thứ
xa lạ đối với tôi. Sau việc đi trật đường đại số, tôi đã nhanh chóng quay đầu
trở lại”5. Vào năm 1863, ông lại viết cho Engels: “Trong thời gian rảnh,
tôi tính vi phân và tích phân.”6 Đáng chú ý nhất là trong một bức thư khác gửi
cho Engels mười năm sau đó (1873), ông đưa ra một ví dụ về nguyên lý kinh tế học
mà ông đang suy nghĩ:
Tôi
đã nói với Moore về vấn đề đôi lúc khiến tôi đau đầu. Mặc dù vậy, ông ấy cho rằng
không thể giải quyết được, ít nhất là vào lúc này [pro tempore], bởi vì có rất
nhiều yếu tố liên quan, các yếu tố mà đa phần vẫn chưa được khám phá. Vấn đề
là: anh biết về các đồ thị thay đổi của giá cả, tỷ lệ chiết khấu, vv, trong năm,
vv, được trình bày theo các đường zích zắc lên xuống. Tôi đã rất nỗ lực phân
tích các cuộc khủng hoảng bằng cách coi các đường lên và xuống đó bất thường và
tôi đã tin rằng (và vẫn tin rằng không khả thi nếu tài liệu không được nghiên cứu
đầy đủ) tôi có thể xác định về mặt toán học những nguyên lý chi phối khủng hoảng.
Như tôi đã nói, Moore cho rằng không thể hoàn thành vào lúc này và tôi giải quyết
bằng cách tạm ngừng cho đến khi phù hợp7
Dưới
ánh sáng của sự kiện “các nguyên lý chi phối khủng hoảng”, cũng như tất cả các
quy luật xã hội, khuynh hướng và mâu thuẫn, “để xác định về mặt toán học” các
quy luật là một việc không khả thi. Thứ nhất, toán học là một nhánh của logic
hình thức, như đã thấy ở phía trên, các tiên đề của logic hình thức không thể
mâu thuẫn. Mặc dù vậy, để nghiên cứu các quy luật vận động trong một xã hội thì
phải bắt đầu từ các tiên đề mâu thuẫn (theo nghĩa là mâu thuẫn biện chứng như
đã giải thích tại Chương 1 phía trên) và đây là lý do khiến quy luật vận động
là khuynh hướng. Thứ hai, ngay cả khi tất cả “các yếu tố liên quan” được biết
rõ thì về mặt thực tiễn cũng không thể tính toán tất cả chúng. Đây là lý do khiến
các mô hình kinh tế lượng, ngay cả những mô hình liên kết được một nghìn quan hệ,
cũng chỉ coi kết quả thảm hại đó là công cụ dự báo. Nhưng nếu không thể xác định
quy luật khủng hoảng thuần túy bằng các khái niệm toán học thì chắc chắn vẫn có
thể phân tích các vận động chu kỳ của các chỉ số kinh tế (lên và xuống) bằng việc
sử dụng “toán học cao cấp hơn”. Đây là trực giác của Marx.
Tại
giao điểm này, hai câu hỏi khác được đặt ra. Thứ nhất, tại sao Marx không sử dụng
vi phân trong nghiên cứu của ông? Theo Smolinski
Đối
với ông ấy [Marx, G.C.] sự thật căn bản là hàng hóa có giá trị hoặc không, lao
động là năng suất hoặc không, người tham gia vào quá trình kinh tế là một nhà
tư bản hay một người vô sản, xã hội là tư bản hoặc xã hội chủ nghĩa. Đối với vũ
trụ phân cực này thì các phép toán nhị phân là công cụ thích hợp hơn so với
phép toán vi phân8.
Mặc dù
vậy, Alcouffe bình luận rằng sơ đồ tái sản xuất và khuynh hướng đi suy giảm của
tỷ suất lợi nhuận dễ xử lý với phương pháp toán học do Marx phát triển. Ví dụ
như phép toán vi phân có thể được sử dụng để tính sự thay đổi tức thời của tỷ
suất lợi nhuận9. Cả hai góc nhìn dường như đều có một phần của sự thật.
Phép toán vi phân thực sự được áp dụng trong một số phần của lý thuyết kinh tế
của Marx, nhưng câu hỏi là điều này có phù hợp. Hơn nữa, câu hỏi thích hợp
không phải là tỷ suất lợi nhuận thay đổi tức thời ra sao mà là nó thay đổi ra
sao dưới sự tác động qua lại biện chứng giữa khuynh hướng và phản khuynh hướng10.
Giải thích có vẻ thích hợp hơn là Marx, cứ cho là rốt cuộc cũng thành thạo tính
toán cho đến cuối đời, không có đủ thời
gian và cơ hội để viết ra những phân tích định lượng về đời sống kinh tế (ví dụ,
chu kỳ kinh tế, những “đường zích zắc” mà ông viết trong lá thư phía trên).
Câu hỏi
thứ hai là Marx đã áp dụng tính toán ra sao khi ông có thời gian và cơ hội để
làm việc đó. Câu hỏi này không thể giải quyết bằng việc xem xét xem toán học đã
được áp dụng vào việc lập kế hoạch kinh tế ra sao bởi những nền kinh tế kế hoạch
tập trung trước đây. Như Smolinski tường thuật, “Theo một quan điểm được công
nhận phổ biến, ảnh hưởng của Marx đã gây chậm chễ nhiều thập kỷ trong việc phát
triển kinh tế học định lượng trong các hệ thống kinh tế kiểu Soviet, điều đó có
thể nói là đã tác động bất lợi đối với hiệu quả hoạt động của họ.”11
Nhưng cũng như tác giả đã chỉ ra một cách chính xác, và cũng như Bản thảo đã cho
thấy, Marx không hề tẩy chay tính toán và rất quan tâm tới ứng dụng của chúng
trong kinh tế học. Sự thật là
các
nhà kế hoạch hóa “cuồng toán học”, sử dụng cách thể hiện thích hợp của L.
Kantorovich, đã đi tới một sự phân bổ sai lầm đáng kể nguồn lực thông bằng các
quyết định không tối ưu … Tổn thất trí
tuệ của sự cấm kỵ trong câu hỏi này là khá lớn: giảm xuống trạng thái của một
khoa học “định tính”, phi định lượng, kinh tế trì trệ … [Oskar Lange – G.C.] chỉ
ra rằng kinh tế học Soviet đã hạ cấp thành một giáo điều cằn cỗi, mục đích chỉ
là “biện hộ cho lợi ích riêng của tầng lớp quan liêu thống trị và xuyên tạc
cũng như làm sai lệch hiện thực kinh tế.”Quá trình đó dẫn đến “một sự xa rời chủ
nghĩa Marx … khoa học [kinh tế] Marxist bị thay thế bằng một chủ nghĩa biện hộ
giáo điều.”12
Có một
sự nhầm lẫn rõ ràng ở đây. Trong khi Marx không thể bị quy trách nhiệm về việc
thiếu áp dụng toán học trong các nền kinh tế kiểu Soviet, và đồng thời sự thiếu
áp dụng đó rõ ràng là một cản trở đối với việc vận hành hiệu quả một hệ thống
kinh tế, lý do cho sự sụp đổ của Liên Bang Soviet và các nền kinh tế kế hoạch
hóa tập trung kiểu Soviet khác nên tìm ở chỗ khác. Nói ngắn gọn, bất chấp đặc
tính riêng của nó, trong đó có sự thiếu vắng thị trường, Liên Bang Soviet đã trở
thành một hệ thống mà trong đó các tầng lớp chính trị/quản lý thực hiện chức
năng của tư bản. Áp dụng các kỹ thuật lập kế hoạch là công cụ để phản ánh thị
trường và hệ thống phân bổ, nhưng đồng thời cũng làm suy yếu vị thế của tầng lớp
quan liêu và củng cố tầng lớp kỹ trị. Tuy nhiên, bên cạnh đó, việc áp dụng các
kỹ thuật lập kế hoạch trong các nền kinh tế này là đối kháng với một hệ thống dựa
trên sự tự quản lý kinh tế và xã hội của người lao động. Trái ngược với quan điểm
của Smolinski, sự lựa chọn của nhà quản lý thường xuyên sai lầm không phải bởi
vì họ “phản ánh học thuyết giá trị lao động sai lầm”13 mà bởi vì hệ
thống tư bản chủ nghĩa ẩn mình trong đó cần thị trường làm hệ thống phân bổ hơn
là bất cứ kiểu hệ thống phân bổ nào khác. Sự phân bổ tối ưu đối với tư bản chỉ có thể đạt được thông qua thị
trường. Hệ thống do vậy bị suy yếu và không thể cạnh tranh với các nước tư bản
phát triển14.
Đối với
Marx, câu hỏi quan trọng ở đây không phải là có hay không và Marx đã áp dụng
phép toán vi phân vào lý thuyết kinh tế ra sao. Điều này ít quan trọng. Hơn nữa,
điểm chủ chốt là ngay cả khi Bản thảo không giải quyết mối quan hệ giữa phép biện
chứng và phép toán vi phân thì phương
pháp vi phân của Marx cũng cho phép khám phá quan điểm biện chứng về hiện thực
của Marx. Các nhà bình luận Bản thảo đã không biết điều đó. Mặc dù vậy, sự
khám phá này quan trọng hơn ở chỗ phương pháp tính vi phân của Marx là khía cạnh
thật sự quan trọng của Bản thảo.
Hãy bắt
đầu xem xét “Lebniz đi đến khái niệm đạo hàm … từ các nghiên cứu hình học.”15.
Lấy y1=x13, bắt đầu bằng dx=x1–x0
và dy=y1–y0:
(1) y1=x13 =(x0
+ dx)3=x03+3x02dx+3x0(dx)2+(dx)3
Do y0=x03
nên
(2) y1=y0+3x02dx+3x0(dx)2+(dx)3
Do vậy
(3) y1-y0=dy=3x02dx+3x0(dx)2+(dx)3
Và chia
cả hai vế cho dx thì thu được
(4) dy/dx=3x02+3x0dx+(dx)2
Tại điểm
này, theo Leibniz thì ta có thể giản lược dx ở vế bên phải do dx là đại lượng cực
nhỏ. Qua đó thu được
(5) dy/dx =3x02 hay
tổng quát hơn là 3x2
Vấn đề
theo Marx là có hai phần. Thứ nhất là đạo hàm 3x02 đã xuất
hiện trong phương trình (1), có nghĩa là trước
khi đạo hàm, trước khi đặt dx bằng 0. Do vậy, để tính đạo hàm, các phần thu
được trong phần bổ sung của đạo hàm lần thứ nhất [3x0dx + (dx)2
- G.C.] … phải được loại bỏ để thu được
kết quả chính xác [3x02 - G.C.]16. Điều này là
cần thiết để thu được kết quả chính xác thay vì kết quả bất kỳ17. Marx
gọi đây là phương pháp “thần bí”. Thứ hai, nếu dx là một đại lượng cực nhỏ, và
nếu nó không phải là số thường (hệ Archimed) thì tại sao ta được phép dùng quy
luật của số thường, cụ thể là phép mở rộng nhị thức (x0 + dx)3.
Tổng quát hơn nữa, trạng thái bản chất và lý thuyết của các đại lượng cực nhỏ
là gì?
Để giải
quyết những khó khăn đó, Marx tự phát triển phương pháp đạo hàm. Về cơ bản,
phương pháp của Marx như sau. Cho một hàm số cụ thể như y=f(x), sau đó Marx cho
x0 tiến tới x1. Cả
x và y tăng tới một định lượng giới hạn, Δx và Δy, do dó quy luật của số thường
có thể áp dụng được. Tỷ số Δy/Δx=[f(x1)–f(x0)]/(x1–x0)
được ông gọi là đạo hàm tạm thời hay sơ bộ. Sau đó, ông cho x1 tiến
tới x0, tức là x1–x0=0
và do đó y1–y0=0, qua đó giảm giá trị giới hạn tới
đại lượng tối thiểu tuyệt đối. Đây là đạo hàm cuối cùng, dx/dy (để đạo hàm chỉ
xuất hiện sau quá trình vi phân)18. Đại lượng x1 mặc dù
thu được từ biến số x, không biến mất mà
chỉ giảm xuống giá trị giới hạn tối
thiểu của nó19. Hãy xem xét cách Marx tính đạo hàm của y=x3
Nếu x0 tăng tới x1, y0 tăng
tới y1. Giả sử x1–x0=Δx và y1-y0=Δy
(1) Δy/Δx =(y1-y0)/(x1–x0)=(x13–x03)/(x1–x0).
Do
(2) (x13–x03)=(x1–x0)(x12+x1x0+x02)
Ta đem
thay (2) vào (1)
(3) Δy/Δx =[(x1–x0)(x12+x1x0+x02)]/(x1–x0)
Và thu
được đạo hàm sơ bộ
(4) Δy/Δx =x12+x1x0+x02
Đạo
hàm cuối cùng do đó là “đạo hàm sơ bộ giảm tới đại lượng nhỏ tuyệt đối”20.
Hai phương pháp cùng tạo ra một kết quả nhưng có nhiều sự khác nhau giữa chúng.
Thứ nhất, “xuất phát điểm … là các cực đối lập cũng như phương pháp triển khai
diễn ra”21. Trong trường hợp thứ nhất x0+dx=x1
(“phương pháp dương”); trong trường hợp thứ hai (Marx) thì x0 tăng tới
x1, có nghĩa là x1–x0=Δx (“phướng pháp âm”22).
“Một phương pháp thể hiện cùng một nội dung như phương pháp khác: dạng thứ nhất
là Δx âm, dạng còn lại là số gia h dương”23. Trong phương pháp dương
“khởi đầu chúng ta nhận định sự khác biệt
mà sự đối lập của nó như là một tổng số”24.Phương pháp thứ
hai, trình tự cũng khác biệt: phân số Δy/Δx được chuyển đổi thành dy/dx và kết
quả đạo hàm được thu được sau khi tính đạo hàm, sau khi x1 giảm tới
đại lượng tối thiểu tuyệt đối. Trong phương pháp dương, “đạo hàm do đó không có
cách nào thu được bằng phép toán vi phân trái lại mở rộng đơn giản hàm f(x+h)
hay y1 trong một biểu hiện xác định thu được bằng phép nhân đơn giản”25.
Có thể lập luận rằng những sự khác biệt này không đáng chú ý do cả hai đều chỉ
sử dụng đại số sơ cấp và chia gia lượng của định lượng, y, phụ thuộc vào một đại
lượng khác, x, bởi gia lượng của x26. Hơn nữa, từ quan điểm toán học,
phương pháp của Marx là giới hạn về khả năng áp dụng “bởi vì thường là không thể
chia f(x1)-f(x0) cho x1-x0.”27
Mặc dù vậy, cũng có thể lập luận rằng phương pháp của Marx đáng chú ý về mặt lịch
sử. Phương thức tính toán của ông cho phép nhận thấy rằng dy/dx không phải là tỷ
số giữ hai số 0 mà là một biểu tượng
cho thấy trình tự trước hết là tăng x0 tới x1 (và do đó y0
tới y1) và sau đó giảm x1 (cùng với y1) tới
giá trị tối thiểu, x0 và y0. Khám phá của Marx cho thấy
dy/dx là một biểu tượng vận động đã thấy trước “một ý tưởng chỉ xuất hiện lại
vào thế kỷ 20”28 Sự trình bày của Marx về dy/dx như là một biểu tượng
vận động, “sự biểu hiện của một quá trình” và “biểu tượng của một quá trình hiện
thực” là một thành tích thực sự, một sự phê phán nổi bật đối với những nền tảng
“thần bí” của phép toán vi phân, đối với bản chất siêu hình của các vi đại lượng
vừa không hữu hạn vừa không là 029.
Như đã
trình bày, những xem xét này mang lại lợi ích nhỏ đối với mục đích hiện tại. Điểm
mấu chốt là phân tích về phương pháp cho thấy sự thấu hiểu quan trọng đối với
khái niệm của Marx về biện chứng như đã đề cập ở trên30. Hãy cùng
xem xét những nguyên lý đã ẩn chứa trong Bản thảo. Thứ nhất, đối với Marx, khái
niệm về các vi đại lượng, về một giới hạn gần đúng bằng 0, của một thứ không phải
là số hay 0, cần phải phủ nhận như là “siêu hình”, như con quái vật “Chimera”.
Trong phương pháp của ông, đầu tiên x0 tăng tới x1 (có
nghĩa là bởi dx) và sau đó x1 giảm xuống x0, như vậy x1
không biết mất mà chỉ giảm tới giá trị giới hạn tối thiểu x0. Do vậy,
dx, thay vì đồng thời vừa là 0 vừa
không phải là 0, thì trước hết là một
số thực và sau đó được đặt bằng 0.
Đây là lý thuyết hóa quá trình hiện thực, nhất thời. Theo cách này, Marx thoát
khỏi khái niệm “ma quỷ” về đạo hàm. Khái niệm dx=0 và dy=0 là biểu tượng của
quá trình này, không phải là các số thực bị chia cho 031.
Thứ
hai, trong phương pháp “dương”, vận động là kết quả của một đại lượng (nhỏ)
(dx) thêm vào x0, là một hằng
số. Có nghĩa là x0 vẫn được giữ nguyên là hằng số, do đó vận động
và thay đổi chỉ tác động đến một phạm vi
giới hạn của hiện thực32. Điểm khởi đầu là một hằng số, không vận
động và thay đổi, đối với nó sự thay đổi chỉ được bổ sung như là phần phụ thêm.
Đây là quan điểm hiện thực thống kê chỉ bị nhiễu loạn tạm thời
bởi sự vận động, hơn nữa chỉ được áp dụng cho phần vô cùng nhỏ của hiện thực.
Suy luận tương tự với cân bằng và phi cân bằng (sai lệch tạm thời khỏi cân bằng)
trong khoa học xã hội với chủ nghĩa cận biên trong kinh tế là rõ ràng. dx được
thêm x từ bên ngoài x. Sự vận động
không được thúc đẩy bởi bản chất bên trong của cấu trúc mà là kết quả của các lực
lượng bên ngoài. Phía sau “dạng dương” là giải thích thống kê về hiện thực, còn
phía sau dạng kia là quan điểm động lực.
Đối với
Marx “x1 là sự gia tăng của bản thân x; sự tăng trưởng của nó không
tách rời nó … Công thức này không tách biệt x, cụ thể là x1, khỏi dạng
nguyên gốc trước khi tăng lên, từ x, nhưng nó cũng không tách biệt x khỏi phần
gia lượng của nó”33. Trong phương pháp của Marx, đó là tổng thể, x0 vận động, nó
tăng lên x1 bằng dx. Sự vận động từ x0 tới x1
(xuất phát điểm của Marx) và quay trở lại (điểm kết thúc) cho thấy một sự thay đổi trong toàn bộ hiện thực,
ngay cả khi do tác động của một phần tối thiểu. x0 không thể
tăng lên do Δx (hay dx) mà không biến thành x1; sự thay đổi trong một
phần hiện thực (mặc dù là nhỏ) thay đổi toàn bộ hiện thực do sự liên hệ qua lại
giữa tất các các phần cấu thành của hiện thực. Đây là quan điểm động lực mà
theo đó sự thiếu vắng vận động cũng như thay đổi không có tác dụng. x0
có thể tăng tới x1 chỉ bởi vì x+dx đã hàm chứa trong x như là một trong những tiềm năng của nó.
Sau đó, phương pháp của Marx hàm ý rằng x hàm chứa trong phạm vi bản thân x+dx, sau đó hiện thực hóa bản thân như là
x+dx, nếu x+dx chuyển thành x thì nó lại trở thành tiềm năng nằm trong x. Ngay
cả khi không được Marx khẳng định một cách rõ ràng thì phương pháp của ông giả
định rằng quan điểm biện chứng được tạo áp dụng trong trường hợp này đã phân biệt
giữa kết quả và tiềm năng34. Thực tế, đây có thể không phải là cách
mà khái niệm dx của toán học hiện đại bất hòa với những mục đích này.
Đó là
một khía cạnh, mặc dù vậy điều đó có thể trái ngược với khái niệm biện chứng được
phát triển ở đây. Marx đề cập trong thoáng qua (chỉ một lần duy nhất) rằng
phương pháp tiếp cận hai bước của đạo hàm là một ví dụ về phủ định của phủ định:
“Toàn bộ khó khăn trong việc thấu hiểu tính toán vi phân (như phủ định của phủ
định nói chung) nằm một cách chính xác ở chỗ xem xét nó tách biệt khỏi một
phương pháp đơn giản ra sao và do đó
dẫn tới các kết quả hiện thực”35. Điều này dương như là trong phép
toán vi phân, nếu thoát khỏi phương pháp tiếp cận siêu hình, quay sang phủ định
biện chứng”36. Một sự lựa chọn khác, người ta sẽ bị lôi cuốn vào việc
xem xét nó như là ví dụ về việc Marx làm đỏm với phương thức trình bày kỳ dị kiểu
Hegel. Nhưng Marx viết rằng ông đã làm đỏm với thuật ngữ của Hegel vào năm 1873
trong khi bản thảo đang xem xét được viết vào năm 1881.
Trích
dẫn phía trên có thể giải thích theo hai cách khác nhau. Thứ nhất, có thể là
Marx nghĩ rằng phủ định của phủ định là một khái niệm đúng cho cả khoa học tự
nhiên và xã hội. Điều này sẽ mâu thuẫn với lý thuyết được thúc đẩy trong công
trình này theo nghĩa là nó sẽ chỉ tập trung vào sự tương đồng có tính hình thức.
Ví dụ, người ta có thể cho rằng x0 bị x1 phủ định và sau
đó x1 lại bị x0 phủ định. Nhưng sự phủ định kép này hoàn
toàn khác so với hiện thực xã hội. Sự vận động (1) chỉ là một sự thay đổi về lượng
từ x0 tới x1 và ngược lại, có nghĩa là không có sự thay đổi
về chất; và (2) không có giải thích về lực lượng tiềm tàng trong x0,
khiến nó biến đổi thành x1 và ngược lại. Trong xã hội, giải thích phủ
định của phủ định về khả năng các hiện tượng xã hội thay thế bản thân bằng cách
tự tạo ra các điều kiện cho sự thay thế là nhờ bản chất mâu thuẫn của chúng.
Đây không phải là môi trường của phép đạo hàm. Nếu đây là tình thế của Marx,
ông sẽ đồng ý với Engels, người coi các quy luật biện chứng là “đúng với sự vận
động trong tự nhiên và lịch sử nhân loại và với sự vận động của tư duy”37.
Mặc dù vậy, nếu câu hỏi là giải thích sự mâu thuẫn, vận động mâu thuẫn, thì
không có sự phủ định của phủ định trong quá trình đạo hàm cũng như không có sự
phủ định của phủ định trong toán học.
Lập luận
toán học dựa trên logic hình thức, thứ logic loại trừ các mâu thuẫn và do đó là
vận động mâu thuẫn. Marx đồng ý rằng toán học có thể giải thích sự vận động: “phương
pháp đại số … [là] sự đối lập rõ ràng [của] phương pháp vi phân”38 bởi
vì phương pháp thứ nhất là phân tích về đại lượng thống kê trong khi phương
pháp thứ hai phân tích sự thay đổi của các đại lượng. Mặc dù vậy, bất chấp sự
khác biệt này, cả hai nhánh của toán học cùng có một đặc trưng là làm việc với
các đại lượng và do đó là sự thay đổi về lượng mà không thể có thay đổi về chất
và mâu thuẫn. Nếu toán học chỉ làm việc với định lượng thì nó chỉ làm việc
trong vương quốc của hiện thực hóa (tức là không ở trong vương quốc của khả
năng). Do đó, nó không thể xử lý các mâu thuẫn biện chứng và sự thay đổi về chất.
Toán học trừu tượng hóa các hiện thực cụ thể. Các khái niệm của nó có thể áp dụng
cho mọi vương quốc hiện thực có thể định lượng và vì lý do này nó
không tìm kiếm sự xác thực trong các sự vật cụ thể. Mặt khác, logic biện chứng
là sự tập trung mang tính lý thuyết của hiện thực cụ thể (xem Chương 1, Phần
7). Vì lý do đó, nó tìm kiếm sự xác thực trong hiện thực đó. Nhưng cũng có khả
năng là Marx đề cập tới sự phủ định của phủ định, trong cả khoa học tự nhiên và
xã hội, cùng chung đặc điểm là dẫn tới “kết quả hiện thực”, bất chấp sự khác biệt
của chúng. Trong trường hợp này, sẽ có một sự đồng thuận với lý thuyết hiện tại
về quy định biện chứng.
Bất kể
thế nào, kết luận quan trọng là Marx tính
vi phân với con mắt của nhà khoa học xã hội, của nhà biện chứng học. Phương
pháp vi phân của ông phản ánh một quá trình hiện thực, nhất thời mà trong đó một
trường hợp thực (một số thực) không thể đồng thời là một trường hợp thực khác
(số 0) và trong đó sự vận động tác động tới tổng thể thay vì chỉ là một phần và
kết quả của sự tác động qua lại giữa các tiềm năng và đó là thứ được hiện thực
hóa. Phương pháp tính vi phân của Marx chỉ phù hợp với phương pháp tiếp cận động
lực và nhất thời (và không phù hợp với phương pháp tiếp cận mà trong đó thời
gian không tồn tại, như phương pháp đồng thời trong kinh tế học), tổng quát hơn,
với khái niệm biện chứng như đã trình bày. Kết luận này rất phù hợp với tranh
luận giữa các nhà Marxist cho rằng trong lý thuyết của Marx thì thời gian là sự
kết hợp cần thiết của động lực, một hệ thống không cân bằng và những người trung
thành với một hệ thống không có thời gian và vận động (xem Chương 2 phía trên).
Câu hỏi không phải là phương pháp của Marx (bất kể trường hợp nào, chính xác
trong giới hạn của nó) có phù hợp với toán học hay lịch sử của toán học hay
không39. Câu hỏi phải là Bản thảo có thực sự phù hợp với các nhà
khoa học xã hội quan tâm đến việc khám phá và tiếp tục phát triển khái niệm biện
chứng của Marx như là phương pháp nghiên cứu xã hội và là một công cụ để thay đổi
xã hội hay không.
Chú
thích
1 Phụ lục này được chỉnh sửa từ bài viết
của Carchedi ở 2008a và của Carchedi ở 2008b. Hai phiên bản trước nhận được những
bình luận của Hans van den Bergh, giáo sư toán học tại trường đại học
Wagenningen, của Josephn Dauben, giáo sư (Distinguished Professor) về lịch sử
và lịch sử khoa học, đại học Thành Phố New York, và Alain Alcouffe, giáo sư
khoa học xã hội, đại học Toulouse. Sự thay đổi đã được báo trước. Xem Carchedi
2008b.
2 Xem Alcouffe 1985 và 2001; Antonova
2006; Blunden 1984; Engels 1983 và 1987; Gerdes 1985; Yanovskaya 1969 và 1983;
Kennedy 1977; Lombardo Radice 1972; Smolinski 1973.
3 Alcouffe 1985, trang 40–41.
4 Yanovskaya 1969, trang 23.
5 Marx 1978.
6 Marx 1974.
7 Marx 1976.
8 Smolinski 1973, trang 1199.
9 Alcouffe 1985, trang 37.
10 Điểm này khác với quan điểm của
Alcouffe là xử lý toán học hình thức đối với quy luật khuynh hướng tỷ suất lợi
nhuận suy giảm sẽ được “đặc biệt hoan nghênh” (sách đã dẫn).
11 Smolinski 1973, trang 1189.
12 Sách đã dẫn
13 Smolinski 1973, trang 1190.
14 Carchedi 1987. Theo Dauben, “Nghiên cứu Bản thảo Toán học của Marx có
tác động chủ chốt đối với nghiên cứu của Soviet trong lịch sử và triết học về
toán học, khởi đầu vào những năm 1930. Điều này là thật trong lịch sử toán học,
khi mà hầu như toàn bộ các công trình công bố giữa năm 1930 và 1950 đều liên
quan đến bản thảo. Mặc dù vậy, lịch sử của toán học cũng nhận được sự thúc đẩy
đáng kể nhờ những gì Marx đã viết … Do vậy sự đáng chú ý của khám phá và nghiên
cứu bản thảo toán học của Marx ở Liên Bang Soviet có thể đánh giá theo nhiều
phương diện khác nhau. Đánh giá về việc các công trình biên tập về bản thảo đã
thúc đẩy nghiên cứu trong những năm 1930 của lịch sử toán học, hiệu ứng của việc
đó là tích cực. Đặc biệt là bản thảo cung cấp một nhân tố căn bản cho việc
nghiên cứu nghiêm túc lịch sử của phân tích. Cũng có thể rút ra là để thừa nhận
Marx hoàn toàn thì cần phải nghiên cứu lịch sử toán học một cách tổng quát.
Đáng tiếc là đối các nền tảng toán học liên quan được quan tâm thì Marx và bản thảo
hầu như chỉ có tác động tiêu cực. Điều này là do khuynh hướng ban đầu của các
nghiên cứu cơ bản tập trung hầu hết vào việc diễn giải biện chứng toán học theo
học thuyết cơ bản của Marx. Đối với sự tự phát triển nội tại và kỹ thuật của
toán học, bản thảo của Marx dường như không đóng một vai trò đáng kể nào, dù là
tích cực hay tiêu cực”. Dauben 2003, trang 2-3.
15 Gerdes 1985, trang 24–30. Xem Struik 1948, trang 187 và
ff.
16 Marx 1983a, trang 91.
17 Sách đã dẫn
18 Về công thức chính xác hơn trên
phương diện toán học trong phương pháp của Marx, xem Marx 1983a, ghi chép 7, trang
195–6.
19 Marx 1983a, trang 7; bổ sung gạch
chân.
20 Sách đã dẫn
21 Marx 1983a, trang 68.
22 Marx 1983a, trang 88.
23 Marx 1983a, trang 128.
24 Marx 1983a, trang 102.
25 Marx 1983a, trang 104.
26 Tôi biết ơn Hans van den Berg về trao
đổi cá nhân.
27 Gerdes 1985, trang 7.
28 Kolmogorov, được trích dẫn trong
Gerdes trang 75. Theo Lombardo Radice, Marx không biết gì về các cơ sơ quan trọng của giải tích, từ Cauchy tới Weierstrass, đó là điều khẳng định “thiên tài” của
ông trong việc phê phán độc lập nền tảng “thần bí” của phép toán (Lombardo
Radice 1972, trang 274).
29 Lombardo Radice, được trích dẫn trong
Ponzio 2005, trang 23.
30 Quan điểm này khác với diễn giải của
Alcouffe rằng “hình thức hóa một khoa học xã hội, nhất là một khoa học phế phán”
phải được tìm kiếm trong tác phẩm Khoa học về Logic của Hegel (Alcouffe 1985,
trang 104). Như đã lập luận phía trên, nhất là tại Chương 1, cần phải tìm kiếm
và bóc tách từ công trình của Marx.
31 Điều tương tự được Yanovskaya đưa ra.
Theo Gerdes, “một số nhà khoa học giải thích các vi đại lượng hay các đại lượng
vô cùng nhỏ theo khái niệm về bản chất biện chứng của đối lập – vừa bằng 0 vừa
khác 0. Yanovskaya gọi các nhà khoa học này là “Marxist giả hiệu” do họ quên mất rằng chủ nghĩa duy vật biện chứng
không thừa nhận mâu thuẫn thống kê (=0 và #0), mà chỉ thừa nhận mâu thuẫn liên
hệ với vận động.” (Gerdes 1985, trang 115-116).
32 Trong một lá thư gửi Marx vào năm
1882, Engels viết: “sự khác biệt căn bản giữa phương pháp của anh và phương
pháp cũ là anh cho x thay đổi sang x’, do đó làm cho chúng thật sự biến đổi,
trong khi cách kia bắt đầu bằng x+h, luôn chỉ là tổng của hai số lượng, nhưng
không bao giờ là sự biến thiên của một số lượng.” Engels 1983, trang xxix.
33 Marx 1983a, trang 86.
34 Trái lại, trong hiện thực xã hội, một
sự hiện tượng xã hội có thể giảm về kích thước tới một điểm khi nó trở thành hiện
tượng cá biệt, một hiện tượng xã hội tiềm năng. Nhưng trong hiện thực xã hội
thì khái niệm về vi đại lượng là vô nghĩa.
35 Marx 1983a, trang 3.
36 Ponzio 2005, trang 33. Xem Kennedy 1977, trang 311.
37 Được trích dẫn trong Gerdes 1985, trang
88.
38 Marx 1983a, trang 21.
39 Dauben gợi lên sự chú ý tới mối liên hệ
giữa phân tích phi chuẩn mực và Bản thảo Toán học của Marx ở Trung Quốc: “Gần một
thế kỷ sau Marx, các nhà toán học Trung Quốc đã liên kết một cách rõ ràng tư tưởng
Marxist và các nền tảng toán học thông qua một chương trình mới diễn giải phép
toán sử dụng vi lượng, như Marx đã dự báo, nhưng hiện giờ là theo các khái niệm
chặt chẽ của phân tích phi chuẩn mực, phát minh của Abraham Robinson vào những
năm 1960. Trong thời kỳ Cách mạng Văn hóa (1966-1976), toán học bị hoài nghi ở
Trung Quốc do quá trừu tượng, tách biệt khỏi mối quan tâm của người bình thường
và nỗ lực đáp ứng các nhu cầu thiết yếu của đời sống trong một xã hội hầu hết
là nông nghiệp. Mặc dù vậy, khi các nhà toán học Trung Quốc khám phá ra bản thảo
toán học của Karl Marx, chúng dường như đem lại một cơ sở mới mẻ để biện minh
cho toán học trừu tượng, đặc biệt là liên quan tới các đánh giá cơ bản và mang
tính phê phán của phép toán” (Dauben 2003, trang 328). Lưu ý rằng điều này dường
như không đưa ra câu trả lời cho vấn đề câu hỏi quan trọng của Marx là gì, tức
là bản chất tự nhiên của các vi đại lượng hay số lớn. Giả thuyết về một “đám
mây” các số siêu thực trôi nổi li ti gần với mỗi con số trên đường *R không trả
lời câu hỏi của Marx.