Homo economicus: con quái vật của xã hội tư bản

Đã có nhiều nhà kinh tế học ở nhiều phái khác nhau phê phán khái niệm nền tảng homo economicus [con người kinh tế] của kinh tế học hiện đại, song có lẽ Guglielmo Carchedi là người triệt để nhất vì ông dựa trên phép biện chứng, ông chỉ ra nền tảng của homo economicus là tính phi thời gian và do vậy không có vận động. Mặt khác, homo economicus chỉ là con người lý tưởng của xã hội tư bản. Do đó, toàn bộ khoa kinh tế học hiện đại bắt đầu bằng giả định là chủ nghĩa tư bản tồn tại vĩnh viễn, bất chấp mọi sự biến đổi nội tại. Khoa kinh tế học cho thấy mang tính tôn giáo hơn là khoa học. Đây là bản dịch phần 6 "The alien rationality of homo economicus" trong chương II của cuốn "Behind the Crisis: Marx’s Dialectics of Value and Knowledge" của Guglielmo Carchedi. Tiêu đề do người dịch đặt.

Sự hợp lý phi lý của homo economicus

Các phần phía trên đã chứng minh rằng lý thuyết của Marx không thể dung hòa với một khái niệm mang tính thống kê về thực tại mà trong đó thời gian bị bỏ qua và sự cân bằng thống trị. Trong rất nhiều khẳng định, kinh tế chính thống đã cho thấy là được xây dựng dựa trên khái niệm này, lập luận phía trên đã trình bày về sự không thể dung hòa giữa kinh tế chính trị Marxist và kinh tế học chính thống. Nhưng có phải cả hai phương pháp tiếp cận trái ngược cùng tự mâu thuẫn trong các khái niệm của chúng? Tất nhiên, kinh tế học chính thống tuyên bố rằng không có mâu thuẫn nội tại. Đặc trưng cần phải xem xét trong trường hợp này là homo economicus [con người kinh tế], kiến thức sơ đẳng của mọi sinh viên kinh tế học. Phần này sẽ cho thấy sự hợp lý của homo economicus và qua đó là lý thuyết kinh tế học chính thống thất bại trong kiểm định logic hình thức, phương thức duy lý duy nhất mà kinh tế học chính thống biết đến, chứ không phải lý thuyết của Marx.

Theo lý thuyết kinh tế học chính thống, mà chủ nghĩa tân cổ điển là một kết quả, nếu nền kinh tế tư bản chủ nghĩa được tự do hoạt động, không có cản trở, có khuynh hướng tự nhiên hướng tới cân bằng. Khuynh hướng này dựa trên homo economicus, sự tồn tại hợp lý par excellence [đặc biệt]. Sự hợp lý này được minh họa bằng đường cung và đường cầu: nếu cầu về một hàng hóa tăng lên, giá của hàng hóa tăng và vice versa [ngược lại]; nếu cung của một hàng hóa tăng, giá của hàng hóa giảm và vice versa. Hệ quả là hai đường có độ dốc khác nhau, một đi lên và một đi xuống. Do đó, chúng có thể giao nhau, tạo thành giá cân bằng, có nghĩa là mức giá mà tại đó cung và cầu khớp với nhau. Đây là alpha và omega trong sự hợp lý của homo economicus.

Lập luận lý thuyết này có thể phê phán trên nhiều phương diện. Mặc dù vậy, sự phê phán phải chính xác. Ví dụ, có thể nói rằng sự hợp lý này là ích kỷ vì các cá nhân tối đa hóa lợi ích của họ độc lập với người khác, như thể họ là những đơn tử mà đối với chúng xã hội không tồn tại. Điều này khá chính xác. Homo economicus là kẻ ích kỷ bởi vì anh ta tham lam và bóc lột, những đặc tính giả định sự tồn tại của người khác cũng như lợi ích của anh ta đối với những người đó. Chúng ta hãy lấy ví dụ về hành vi phía sau đường cầu. Nếu nhu cầu về hàng hóa tăng lên, có nghĩa là nếu những những người không có hàng hóa ấy rất cần nó, những người có hàng hóa sở hữu lợi dụng tình hình (nhu cầu lớn hơn) và tăng giá hàng hóa. Homo economicus tối đa hóa không độc lập, mà với chi phí của những người khác. Anh ta là kẻ ích kỷ vì anh ta bóc lột nhu cầu của người khác. Khách quan phản ánh trong thực tế là các đại diện kinh tế có thể (và thực hiện) hành động khác, tức là vị tha. Nhưng các nhà kinh tế học chính thống có thể dễ dàng phủ nhận phê phán này bằng cách gộp vị tha vào ích kỷ: nếu một cá thể tối đa hóa sự thỏa mãn của họ bằng cách hành động vị tha, họ không từ bỏ sự hợp lý ích kỷ. Mặc dù vậy, bất chấp lợi thế rõ ràng về mặt tư tưởng đối với tư bản trong việc gộp vị tha vào ích kỷ, có hai lý do để phủ nhận sự lựa chọn này. Thứ nhất nếu con người vừa ích kỷ vừa vị tha, nếu họ tối đa hóa lợi ích của họ bằng cách hành động theo cả vị tha và ích kỷ và nếu sự tối đa hóa là hợp lý thì họ sẽ luôn luôn hợp lý, bất kể họ có làm gì. Thứ hai, một hành vi vị tha sẽ xung đột với các lập luận lý thuyết lớn hơn. Một hành vi vị tha sẽ làm giảm (hơn là làm tăng) giá nếu nhu cầu (cầu) tăng để tạo điều kiện cho việc thỏa mãn những người có nhu cầu lớn hơn. Nhưng một hành vi như vậy giả định rằng đường cầu có thể có cả đi lên và đi xuống, sẽ không có bất cứ sự đảm bảo nào về việc đường cung và đường cầu sẽ giao nhau. Trong trường hợp này, toàn bộ cấu trúc tân cổ điển, bao gồm cả khái niệm cân bằng, sẽ sụp đổ như ngôi nhà xếp bằng quân bài. Vị tha là mâu thuẫn với lý thuyết tân cổ điển: Chúng loại trừ lẫn nhau.

Do vậy, sự ích kỷ là hành vi duy nhất phù hợp với lý thuyết tân cổ điển. Đâu là bằng chứng thực nghiệm cho thấy con người thực sự hành động giống như homo economicus? Bất chấp một số ngoại lệ - một số người có lòng tốt – có thể bỏ qua, quy mô của hành vi sai lệch là rất lớn. Có một số lượng lớn hàng hóa, như hàng hóa xa xỉ và hàng hóa tài chính, mà nhu cầu về chúng tăng lên khi giá tăng và giảm xuống khi giá giảm. Khi loại thứ nhất có thể tương đối không quan trọng về mặt định lượng thì đối với loại thứ hai cũng có thể nói tương tự. Ngay trong những năm 1990, thị trường tài chính lớn hơn xuất khẩu hàng hóa và dịch vụ năm mươi lần. Một ví dụ khác trong số rất nhiều ví dụ, vào đầu những năm 1990, một trăm quỹ hưu trí lớn nhất của Hoa Kỳ, Nhật Bản và Châu Âu quản lý một phần ba tổng thu nhập của thế giới. Không tồi cho một ngoại lệ! Nhưng chưa phải là hết. Hành vi của cầu chịu ảnh hưởng rất mạnh của chu kỳ kinh tế. Ví dụ, vào giai đoạn tăng trưởng, các nhà tư bản tăng mua sắm tư liệu sản xuất và sức lao động ngay cả khi giá của chúng tăng. Trong giai đoạn suy thoái, họ giảm nhu cầu ngay cả khi giá giảm. Điều tương tự cũng diễn ra với hàng hóa tiêu dùng. Theo đó mọi hàng hóa, từ hàng tiêu dùng cho đến hàng hóa vốn, từ hàng hóa tài chính cho đến xa xỉ, đều có thể biến động theo giả định về homo economicus hoặc không. Do vậy, một phần lớn của thực tiễn là phi lý đối với homo economicus và không thể giải thích theo các khái niệm lý thuyết được xây dựng dựa trên nó. Hơn nữa, độ dốc của đường cầu là không xác định và khái niệm cân bằng (trong trao đổi) là không tồn tại.

Nhưng vẫn còn nữa. Độ dốc của đường cầu và sự hợp lý của homo economicus cũng không thể kiểm tra bằng thực nghiệm. Nếu tôi muốn biết sự thay đổi nhu cầu của một cá nhân về một hàng hóa do giá cả thay đổi, tôi phải giả định điều kiện ceteris paribus [các mặt khác không đổi], có nghĩa là cá nhân này có cùng một quan tâm (sở thích) đối với hàng hóa này sau khi cũng như trước khi sự thay đổi xảy ra. Hay nói cách khác, đường bàn quan của tôi phải không thay đổi theo thời gian hay tôi sẽ không thể kiểm nghiệm xem nhu cầu của tôi có thay đổi và thay đổi ra sao do giá cả thay đổi. Nhưng chúng ta không thể chắc chắn điều đó trong trường hợp này, giả thuyết chỉ có thể kiểm nghiệm nếu chúng ta giả định một thực tiễn không thay đổi, có nghĩa là phi thời gian. Marshall đã nhận ra điều đó: “Chúng ta không thể giả định thời gian cho bất cứ thay đổi nào trong đặc trưng về sở thích của con người”. Nếu lý thuyết phải kiểm định được, nó sẽ không phù hợp do nó phải loại bỏ thời gian. Nếu thời gian được đưa vào phân tích, lý thuyết không thể kiểm định được. Theo khái niệm của phương pháp kiểu Popper – mà kinh tế học chính thống gắn bó trung thành – lý thuyết này là thuần túy siêu hình. Hơn nữa, hệ quả theo khái niệm về nội dung giai cấp của một lý thuyết dựa trên giả định sự vắng mặt của thời gian (và do đó là cân bằng) đã được làm rõ ở phía trên.

Nhưng vẫn còn nữa. Homo economicus không chỉ ích kỷ và tham lam, anh ta còn ngạo mạn nữa. Anh khẳng định rằng sự hợp lý của anh ta không gì hơn là sự thể hiện bản chất của con người. Giả thuyết cho rằng bản chất con người là ích kỷ dựa trên một xoay sở tư tưởng khéo léo. Điều này dễ thấy hơn nếu xem xét lý thuyết cận biên. Lý thuyết này dựa trên khái niệm về độ thỏa dụng biên giảm dần, có nghĩa là sự thỏa mãn của người tiêu dùng được tạo ra dựa trên một đơn vị tăng thêm của một hàng hóa nhất định. Trong tình trạng cân bằng, tỷ lệ giữa độ thỏa dụng biên và giá cả phải bằng nhau đối với mọi hàng hóa. Sau đó, nếu độ thỏa dụng biên của một hàng hóa tăng thì nhu cầu về hàng hóa đó tăng lên. Nhưng đồng thời tỷ lệ giữa độ thỏa dụng biên và giá cả cũng tăng lên. Để tái lập cân bằng, giá cả của hàng hóa đó cũng phải tăng lên. Điều tương tự diễn ra trong trường hợp độ thỏa dụng biên giảm. Ba đặc trưng xuất hiện. Thứ nhất, nhu cầu phụ thuộc vào độ thỏa dụng được tạo ra từ việc tiêu thụ thêm một đơn vị hàng hóa, có nghĩa là nhu cầu giảm bởi vì sự thỏa mãn tăng lên (ngay cả khi sự thỏa mãn tăng lên với một nhịp độ giảm xuống). Thứ hai, một sự so sánh giữa các độ thỏa dụng giả định rằng chúng liên quan tới giá cả, có nghĩa là giá cả không cho thấy sức mua mà chỉ đơn giản là yếu tố để làm cho sự so sánh khả thi. Thứ ba, dựa trên sự so sánh giữa các tỷ lệ mà cả đường cầu (có nghĩa là bản chất ích kỷ và hợp lý của đại diện kinh tế) và cân bằng được thiết lập.

Lý thuyết này có thể phê phán trên nhiều góc độ. Ở đây, nó đủ để thể hiện nội dung giai cấp. Nếu nhu cầu giảm với sự thỏa mãn gia tăng, sự vận động của nhu cầu bị quyết định về mặt sinh học hơn là xã hội. Đặc trưng của sinh lý học là sự ích kỷ vốn có trong đường cầu đã được tạo thành. Nhưng “sự giải thích” về nhu cầu kiểu này đã mang nội dung giai cấp – nó phản ánh quan điểm của một thiểu số không gặp vấn đề gì về sức mua (những người mà giới hạn cho sự tiêu dùng của họ chỉ là sự thỏa mãn) hơn là quan điểm của giai cấp lao động và không phản ánh quan điểm của đại đa số dân chúng thế giới, những người không đủ sức mua (ngay cả khi nội hàm của “không đủ” tùy thuộc vào tình hình cụ thể). Đối với họ, nếu giá cả hàng hóa mà họ cần tăng lên, nhu cầu của họ có thể giảm xuống nhưng sự giảm xuống là do sức mua (giá trị) giảm xuống, bởi ra thu nhập giới hạn và thường xuyên không đủ của họ. Trong trường hợp này, cả đường cầu (hành vi của dân chúng) và lý thuyết của nó (phản ánh sự hợp lý của con người) đều mang nội dung xã hội và giai cấp. Lý thuyết cận biên áp đặt quan điểm của người siêu giàu, và do đó là tư bản lên phần còn lại của dân chúng thế giới. Sức mạnh của hệ tư tưởng này là nó nói lời dối trá dường như phù hợp với kinh nghiệm hàng ngày.

Hệ quả đi rất xa. Hành vi “hợp lý” (có nghĩa là bóc lột và ích kỷ) của homo economicus (như đã mô tả trong hàm cầu) được quyết định bởi xã hội tư bản và nó hoạt động phục vụ cho việc tái sản xuất xã hội này. Không có gì hợp lý về hành vi này ngoại trừ dưới chủ nghĩa tư bản, con người phải học cách và có nghĩa vụ trở nên ích kỷ. Theo quan điểm của Marx, bản chất con người không ích kỷ (như phê phán giả định về sự ích kỷ hợp lý của homo economicus đã cho thấy) cũng không vị tha. Con người có khuynh hướng thực hiện tối đa tiềm năng của họ, thứ có thể thực hiện chỉ trong phạm vi một xã hội cụ thể do quan hệ sở hữu và quan hệ sản xuất quyết định (xem Chương 1, Phần 2.2 phía trên). Hệ quả là họ chỉ có thể tiến tới sự phát triển hoàn toàn của bản thân theo cách cùng nhau hoặc với chi phí của người khác. Đây là sự lựa chọn và là sự khác biệt giữa chủ nghĩa tư bản và chủ nghĩa xã hội. Khái niệm về chủ nghĩa xã hội mà trong đó sự khan hiếm trở nên ít gay gắt hay thậm chí là được giải quyết không cho thấy sự khác biệt thật sự vốn có trong sự thay đổi này. Lý do khiến sự thay đổi này khả thi là con người được tạo thành bởi những quan hệ xã hội mâu thuẫn mà họ được sinh ra trong đó và thông qua đó họ phát triển (một số không loại trừ mà còn đòi hỏi cá tính của họ như là một cá nhân cụ thể, như đã trình bày ở Chương 1, Phần 3 phía trên). Dưới chủ nghĩa tư bản, sự ích kỷ là chức năng để tái sản xuất hệ thống, sự vị tha (theo nghĩa hợp tác, đoàn kết và bình đẳng) là chức năng để thay thế nó. Trong xã hội này, một người có thể ích kỷ hay vị tha (ở nhiều cấp độ khác nhau) chỉ đơn giản là bởi vì những quan hệ xã hội mà cá nhân được sinh ra và lớn lên trong đó chứa đựng mâu thuẫn, bởi vì hệ thống – được dựa trên các quan hệ xã hội mâu thuẫn – tạo ra các điều kiện để tái sản xuất ra nó cũng như thay thế nó.

Sự phù hợp quy luật của hệ thống tư bản là dựa trên bản chất được cho là bóc lột và ích kỷ của con người, do vậy hệ thống ích kỷ và bóc lột này được coi là phù hợp nhất, và do vậy là hợp lý nhất, được biện minh bằng những khái niệm rất bản chất. Bất cứ hệ thống nào khác, như chủ nghĩa cộng sản dựa trên hợp tác, đoàn kết và bình đẳng, đều trở nên phi lý bởi vì nó mâu thuẫn với giả định về bản chất con người. Nhưng nếu ai thừa nhận rằng homo economicus là con quái vật của hệ thống tư bản chủ nghĩa và anh ta phản ánh bản chất của hệ thống này, sự phù hợp quy luật của anh ta sẽ bị loại bỏ. Homo economicus không gì hơn là một cấu trúc mang tính hệ tư tưởng. Ngay cả trong những sự lựa chọn dường như vô hại, như việc sử dụng khái niệm Latin, cũng mang tính hệ tư tưởng vì nó có khuynh hướng tin rằng giai đoạn cuối cùng trong sự tiến hóa của con người không phải là homo sapiens mà là homo economicus.

Chủ nghĩa tư bản có thể được bảo vệ trên các phương diện khác. Ví dụ như Milton Friedman cho rằng kinh tế học chính thống có thể được bảo vệ bằng sức mạnh dự đoán hơn là tính hiện thực của nó. Đây không chỉ là sự thừa nhận tính thiếu thực tế (và do đó là sự bất lực) của lý thuyết, mà còn là mục đích tự thân của phương pháp. Trên thực tế, sức mạnh dự báo của homo economicus là bằng không. Như đã thấy phía trên, homo economicus dự báo hành vi của các đại diện kinh tế trong những trường hợp mà họ hành động như vậy và thất bại trong việc dự báo hành vi trong tất cả các trường hợp khác. Giai đoạn sau này rất nhiều và thực sự là quan trọng khiến chúng có thể là quy luật thay vì là ngoại lệ. Nhưng đó không phải là điểm chính yếu. Điều quan trọng là ngay cả khi dự báo chính xác (ví dụ giá cả tăng lên sau khi nhu cầu tăng), homo economicus cũng không có giải thích chính xác về điều đó bởi vì giải thích được dựa trên bản chất ích kỷ phi lịch sử của con người. Nếu sự giải thích là không đầy đủ, diễn biến là ngẫu nhiên. Điều đó tương đồng với cái được gọi là những ngoại lệ.

Về quan hệ giữa tính hiện thực của giả định và giá trị của một lý thuyết, chúng ta đã thấy ở Chương 1, Phần 7 rằng điểm quan trọng là phương pháp trừu tượng hóa. Theo nghĩa này, mọi lý thuyết được xây dựng dựa trên các giả định không có thật, bởi vì chúng đơn giản hóa hiện thực một cách cực đoan. Hệ quả là tính hiện thực hay phi hiện thực của lý thuyết phụ thuộc và loại giả định mà chúng dựa trên đó. Có hai loại giả định, cả hai khác nhau và đối lập nhau do chúng được tạo ra từ hai phương pháp trừu tượng hóa khác nhau và đối lập nhau. Đây là kiểu lập giả định cho phép chúng ta xây dựng một lý thuyết thực tế do các giả định phản ánh điểm kết thúc của một quá trình trừu tượng hóa đặc trưng bản chất và quyết định của các thành phần của hiện thực mà người ta muốn phân tích. Đây là quá trình quy nạp của Marx đã được thảo luận trong Chương 1 Phần 7. Các khái niệm đạt được thông qua quá trình này có thể nói là một sự chiết xuất từ hiện thực, bao gồm các mặt cụ thể và chi tiết hơn của hiện thực. Quá trình diễn dịch (thảo luận ở Chương 1 Phần 7) khởi đầu với những khái niệm đó và đi ngược trở lại, từ cao hơn đến thấp hơn và các cấp thấp hơn nữa của trừu tượng hóa. Phương pháp này cho phép đạt được các quan điểm hiện thực và hiện thực (cụ thể) hơn nữa thực tiễn – cái mà Marx gọi là “sự cụ thể trong tư duy”. Nếu trên phương diện khác, người ta bắt đầu từ các giả định phi thực tế do thực tế đã bị loại bỏ một cách không điều chỉnh khỏi các giả định ấy, lý thuyết dựa trên các giả định ấy không thể không bị tách biệt khỏi thực tế với một khoảng cách không thể vượt qua. Đây là trường hợp của của homo economicus, sự tồn tại về mặt lý thuyết (khả năng kiểm nghiệm của nó) phụ thuộc vào sự vắng mặt của thời gian. Một khi thời gian được đưa vào phân tích thì homo economicus không có lý do để tồn tại nữa bởi vì sự tồn tại và khả năng kiểm nghiệm của nó phụ thuộc vào sự vắng mặt của thời gian. Mọi lý thuyết, không chỉ tân cổ điển, có cơ sở là homo economicus, đều mang đặc trưng (bất kể là chúng có nhận ra điều đó hay không) dựa trên giả định căn bản rằng thời gian không tồn tại. Nhưng khi giả định đó được tạo ra, nó không thể bị vứt bỏ và người ta bị cầm tù trong một mô hình hay khái niệm về thực tế là bất cứ cái gì nhưng không phải hiện thực. Kết luận căn bản trong hoàn cảnh này là sự vắng mặt của thời gian và do đó là sự thay đổi, xã hội cũng như kinh tế trong trạng thái cân bằng. Sự cân bằng và phi thời gian do đó giả định lẫn nhau.

Marx học toán để làm gì?

Marx học toán để làm gì? Đó là câu hỏi đáng chú ý và cũng đã có nhiều người nghiên cứu. Song hầu hết là quan tâm về mặt toán học, Guglielmo Carchedi nhìn dưới một góc độ khác. Theo Carchedi đó là sự phát triển của phương pháp biện chứng, có ý nghĩa với khoa học xã hội hơn là đối với toán học. Điều này đáng chú ý khi mà hiện nay kinh tế chính trị học đang tìm cách thanh toán những nền tảng siêu hình mà nó nhiễm phải từ kinh tế học, và nửa bên kia là kinh tế học đã tha hóa thành một thứ toán học kinh tế phi lý. Đây là bản dịch phần phụ lục thứ ba "Marx's Mathematical Menuscripts" trong cuốn sách "Behind the Crisis: Marx's Dialectics of Value and Knowledge" của Guglielmo Carchedi do nhà xuất bản Brill ở Boston, Hoa Kỳ, phát hành năm 2011. Ai quan tâm có thể download bản scan của cuốn sách này tại trang gen.lib.rus, tôi không dẫn link để tôn trọng bản quyền của tác giả.

Bản dịch này xin được tặng cho bạn Thichthichiu, độc giả của trang này, vốn là người nghiên cứu toán học. Hy vọng bản dịch này sẽ giúp bạn sẽ hiểu rõ hơn về giới hạn của toán học trong nghiên cứu khoa học xã hội cũng như nguồn gốc ra đời của phong trào phản đối kinh tế học chính thống PAECON của sinh viên Pháp. Carchedi và những người thuộc phái biện chứng trong kinh tế chính trị học Marxist rất được chào đón ở PAECON.

Bản thảo toán học của Marx¹

Sự xác thực tiếp theo về quan điểm biện chứng được đề cập tại Chương 1 có thể thấy trong Bản Thảo Toán Học của Marx.

Thông thường, các nhà bình luận tập trung vào bản thảo toán học để tìm hiểu phương pháp tính vi phân của Marx trên phương diện lịch sử toán học². Một trong những câu hỏi được các nhà bình luận đưa ra là tại sao Marx bắt tay vào công việc nghiên cứu đó. Như đã được biết, Marx bị thúc đẩy một cách rõ ràng bởi sự quan tâm tới việc tính toán, do ông đã thừa nhận là kiến thức về toán học của ông không đủ để soạn tỉ mỉ các nguyên lý của kinh tế học.

Alcouffe cho rằng Marx thích toán học như vậy là do “sự rèn luyện mang tính chặt chẽ và trí tuệ”³ của nó cũng như khía cạnh giải trí, tiêu khiển và triết lý của toán học đối với Marx ít nhất là cũng quan trọng như sự mối bận tâm của ông đối với kinh tế học. Mặt khác, Yanovskaya, nhà bình luận quan trọng nhất về Bản thảo, đã nhận xét rằng Bản thảo không đưa ra câu trả lời về việc điều gì đã thúc đẩy Marx chuyển từ việc theo đuổi đại số và số học thương mại sang tính vi phân⁴. Marx dường như bị cuốn hút bởi nhiều mối bận tâm nên lập luận của Alcouffe loại trừ một cách không cần thiết lý do đã được Marx tuyên bố rõ ràng. Nhưng cũng có thể có lý do khác mang tính triết học hơn. Như chúng ta sẽ được thấy ở phía dưới, sự phê phán của Marx đối với việc tính vi phân và phát triển phương pháp riêng về vi phân tập trung vào bản chất tự nhiên của các vi đại lượng. Luận đề trong phần phụ lục này là Marx tìm kiếm sự cả sự hỗ trợ và vật liệu để tiếp tục phát triển phương pháp của ông về phân tích xã hội trong quá trình nghiên cứu phép toán vi phân. Từ góc nhìn này, Bản thảo đáng chú ý đối với các nhà khoa học xã hội  hơn là đối với các nhà toán học hay lịch sử toán học.

Bằng chứng đầu tiên về sự quan tâm của Marx đối với toán học nằm trong một lá thư gửi cho Engels vào năm 1858, trong đó ông viết: “Khi xây dựng các nguyên lý của kinh tế học, tôi đã bị chậm trễ khủng khiếp vì những sai lầm trong tính toán, để thoát khỏi sự tuyệt vọng thì tôi đã xem lướt lại môn đại số. Số học luôn là thứ xa lạ đối với tôi. Sau việc đi trật đường đại số, tôi đã nhanh chóng quay đầu trở lại”⁵. Vào năm 1863, ông lại viết cho Engels: “Trong thời gian rảnh, tôi tính vi phân và tích phân.”⁶  Đáng chú ý nhất là trong một bức thư khác gửi cho Engels mười năm sau đó (1873), ông đưa ra một ví dụ về nguyên lý kinh tế học mà ông đang suy nghĩ:

Tôi đã nói với Moore về vấn đề đôi lúc khiến tôi đau đầu. Mặc dù vậy, ông ấy cho rằng không thể giải quyết được, ít nhất là vào lúc này [pro tempore], bởi vì có rất nhiều yếu tố liên quan, các yếu tố mà đa phần vẫn chưa được khám phá. Vấn đề là: anh biết về các đồ thị thay đổi của giá cả, tỷ lệ chiết khấu, vv, trong năm, vv, được trình bày theo các đường zích zắc lên xuống. Tôi đã rất nỗ lực phân tích các cuộc khủng hoảng bằng cách coi các đường lên và xuống đó bất thường và tôi đã tin rằng (và vẫn tin rằng không khả thi nếu tài liệu không được nghiên cứu đầy đủ) tôi có thể xác định về mặt toán học những nguyên lý chi phối khủng hoảng. Như tôi đã nói, Moore cho rằng không thể hoàn thành vào lúc này và tôi giải quyết bằng cách tạm ngừng cho đến khi phù hợp⁷

Dưới ánh sáng của sự kiện “các nguyên lý chi phối khủng hoảng”, cũng như tất cả các quy luật xã hội, khuynh hướng và mâu thuẫn, “để xác định về mặt toán học” các quy luật là một việc không khả thi. Thứ nhất, toán học là một nhánh của logic hình thức, như đã thấy ở phía trên, các tiên đề của logic hình thức không thể mâu thuẫn. Mặc dù vậy, để nghiên cứu các quy luật vận động trong một xã hội thì phải bắt đầu từ các tiên đề mâu thuẫn (theo nghĩa là mâu thuẫn biện chứng như đã giải thích tại Chương 1 phía trên) và đây là lý do khiến quy luật vận động là khuynh hướng. Thứ hai, ngay cả khi tất cả “các yếu tố liên quan” được biết rõ thì về mặt thực tiễn cũng không thể tính toán tất cả chúng. Đây là lý do khiến các mô hình kinh tế lượng, ngay cả những mô hình liên kết được một nghìn quan hệ, cũng chỉ coi kết quả thảm hại đó là công cụ dự báo. Nhưng nếu không thể xác định quy luật khủng hoảng thuần túy bằng các khái niệm toán học thì chắc chắn vẫn có thể phân tích các vận động chu kỳ của các chỉ số kinh tế (lên và xuống) bằng việc sử dụng “toán học cao cấp hơn”. Đây là trực giác của Marx. 

Tại giao điểm này, hai câu hỏi khác được đặt ra. Thứ nhất, tại sao Marx không sử dụng vi phân trong nghiên cứu của ông? Theo Smolinski

Đối với ông ấy [Marx, G.C.] sự thật căn bản là hàng hóa có giá trị hoặc không, lao động là năng suất hoặc không, người tham gia vào quá trình kinh tế là một nhà tư bản hay một người vô sản, xã hội là tư bản hoặc xã hội chủ nghĩa. Đối với vũ trụ phân cực này thì các phép toán nhị phân là công cụ thích hợp hơn so với phép toán vi phân⁸.

Mặc dù vậy, Alcouffe bình luận rằng sơ đồ tái sản xuất và khuynh hướng đi suy giảm của tỷ suất lợi nhuận dễ xử lý với phương pháp toán học do Marx phát triển. Ví dụ như phép toán vi phân có thể được sử dụng để tính sự thay đổi tức thời của tỷ suất lợi nhuận⁹. Cả hai góc nhìn dường như đều có một phần của sự thật. Phép toán vi phân thực sự được áp dụng trong một số phần của lý thuyết kinh tế của Marx, nhưng câu hỏi là điều này có phù hợp. Hơn nữa, câu hỏi thích hợp không phải là tỷ suất lợi nhuận thay đổi tức thời ra sao mà là nó thay đổi ra sao dưới sự tác động qua lại biện chứng giữa khuynh hướng và phản khuynh hướng¹⁰. Giải thích có vẻ thích hợp hơn là Marx, cứ cho là rốt cuộc cũng thành thạo tính toán cho đến cuối đời,  không có đủ thời gian và cơ hội để viết ra những phân tích định lượng về đời sống kinh tế (ví dụ, chu kỳ kinh tế, những “đường zích zắc” mà ông viết trong lá thư phía trên).

Câu hỏi thứ hai là Marx đã áp dụng tính toán ra sao khi ông có thời gian và cơ hội để làm việc đó. Câu hỏi này không thể giải quyết bằng việc xem xét xem toán học đã được áp dụng vào việc lập kế hoạch kinh tế ra sao bởi những nền kinh tế kế hoạch tập trung trước đây. Như Smolinski tường thuật, “Theo một quan điểm được công nhận phổ biến, ảnh hưởng của Marx đã gây chậm chễ nhiều thập kỷ trong việc phát triển kinh tế học định lượng trong các hệ thống kinh tế kiểu Soviet, điều đó có thể nói là đã tác động bất lợi đối với hiệu quả hoạt động của họ.”¹¹ Nhưng cũng như tác giả đã chỉ ra một cách chính xác, và cũng như Bản thảo đã cho thấy, Marx không hề tẩy chay tính toán và rất quan tâm tới ứng dụng của chúng trong kinh tế học. Sự thật là

các nhà kế hoạch hóa “cuồng toán học”, sử dụng cách thể hiện thích hợp của L. Kantorovich, đã đi tới một sự phân bổ sai lầm đáng kể nguồn lực thông bằng các quyết định không tối ưu …  Tổn thất trí tuệ của sự cấm kỵ trong câu hỏi này là khá lớn: giảm xuống trạng thái của một khoa học “định tính”, phi định lượng, kinh tế trì trệ … [Oskar Lange – G.C.] chỉ ra rằng kinh tế học Soviet đã hạ cấp thành một giáo điều cằn cỗi, mục đích chỉ là “biện hộ cho lợi ích riêng của tầng lớp quan liêu thống trị và xuyên tạc cũng như làm sai lệch hiện thực kinh tế.”Quá trình đó dẫn đến “một sự xa rời chủ nghĩa Marx … khoa học [kinh tế] Marxist bị thay thế bằng một chủ nghĩa biện hộ giáo điều.”¹²

Có một sự nhầm lẫn rõ ràng ở đây. Trong khi Marx không thể bị quy trách nhiệm về việc thiếu áp dụng toán học trong các nền kinh tế kiểu Soviet, và đồng thời sự thiếu áp dụng đó rõ ràng là một cản trở đối với việc vận hành hiệu quả một hệ thống kinh tế, lý do cho sự sụp đổ của Liên Bang Soviet và các nền kinh tế kế hoạch hóa tập trung kiểu Soviet khác nên tìm ở chỗ khác. Nói ngắn gọn, bất chấp đặc tính riêng của nó, trong đó có sự thiếu vắng thị trường, Liên Bang Soviet đã trở thành một hệ thống mà trong đó các tầng lớp chính trị/quản lý thực hiện chức năng của tư bản. Áp dụng các kỹ thuật lập kế hoạch là công cụ để phản ánh thị trường và hệ thống phân bổ, nhưng đồng thời cũng làm suy yếu vị thế của tầng lớp quan liêu và củng cố tầng lớp kỹ trị. Tuy nhiên, bên cạnh đó, việc áp dụng các kỹ thuật lập kế hoạch trong các nền kinh tế này là đối kháng với một hệ thống dựa trên sự tự quản lý kinh tế và xã hội của người lao động. Trái ngược với quan điểm của Smolinski, sự lựa chọn của nhà quản lý thường xuyên sai lầm không phải bởi vì họ “phản ánh học thuyết giá trị lao động sai lầm”¹³ mà bởi vì hệ thống tư bản chủ nghĩa ẩn mình trong đó cần thị trường làm hệ thống phân bổ hơn là bất cứ kiểu hệ thống phân bổ nào khác. Sự phân bổ tối ưu đối với tư bản chỉ có thể đạt được thông qua thị trường. Hệ thống do vậy bị suy yếu và không thể cạnh tranh với các nước tư bản phát triển¹⁴.

Đối với Marx, câu hỏi quan trọng ở đây không phải là có hay không và Marx đã áp dụng phép toán vi phân vào lý thuyết kinh tế ra sao. Điều này ít quan trọng. Hơn nữa, điểm chủ chốt là ngay cả khi Bản thảo không giải quyết mối quan hệ giữa phép biện chứng và phép toán vi phân thì phương pháp vi phân của Marx cũng cho phép khám phá quan điểm biện chứng về hiện thực của Marx. Các nhà bình luận Bản thảo đã không biết điều đó. Mặc dù vậy, sự khám phá này quan trọng hơn ở chỗ phương pháp tính vi phân của Marx là khía cạnh thật sự quan trọng của Bản thảo.

Hãy bắt đầu xem xét “Lebniz đi đến khái niệm đạo hàm … từ các nghiên cứu hình học.”¹⁵. Lấy y₁=x₁³, bắt đầu bằng dx=x₁–x₀ và dy=y₁–y₀:

(1)   y₁=x₁³ =(x₀ + dx)³=x₀³+3x₀²dx+3x₀(dx)²+(dx)³

Do y₀=x₀³  nên 
(2)   y₁=y₀+3x₀²dx+3x₀(dx)²+(dx)³

Do vậy 
(3)   y₁-y₀=dy=3x₀²dx+3x₀(dx)²+(dx)³

Và chia cả hai vế cho dx thì thu được
(4)   dy/dx=3x₀²+3x₀dx+(dx)²

Tại điểm này, theo Leibniz thì ta có thể giản lược dx ở vế bên phải do dx là đại lượng cực nhỏ. Qua đó thu được 
(5)   dy/dx =3x₀² hay tổng quát hơn là 3x²

Vấn đề theo Marx là có hai phần. Thứ nhất là đạo hàm 3x₀² đã xuất hiện trong phương trình (1), có nghĩa là trước khi đạo hàm, trước khi đặt dx bằng 0. Do vậy, để tính đạo hàm, các phần thu được trong phần bổ sung của đạo hàm lần thứ nhất [3x₀dx + (dx)² - G.C.] … phải được loại bỏ để thu được kết quả chính xác [3x₀² - G.C.]¹⁶. Điều này là cần thiết để thu được kết quả chính xác thay vì kết quả bất kỳ¹⁷. Marx gọi đây là phương pháp “thần bí”. Thứ hai, nếu dx là một đại lượng cực nhỏ, và nếu nó không phải là số thường (hệ Archimed) thì tại sao ta được phép dùng quy luật của số thường, cụ thể là phép mở rộng nhị thức (x₀ + dx)³. Tổng quát hơn nữa, trạng thái bản chất và lý thuyết của các đại lượng cực nhỏ là gì?

Để giải quyết những khó khăn đó, Marx tự phát triển phương pháp đạo hàm. Về cơ bản, phương pháp của Marx như sau. Cho một hàm số cụ thể như y=f(x), sau đó Marx cho x₀ tiến tới x₁. Cả x và y tăng tới một định lượng giới hạn, Δx và Δy, do dó quy luật của số thường có thể áp dụng được. Tỷ số Δy/Δx=[f(x₁)–f(x₀)]/(x₁–x₀) được ông gọi là đạo hàm tạm thời hay sơ bộ. Sau đó, ông cho x₁ tiến tới x₀, tức là x₁–x₀=0 và do đó y₁–y₀=0, qua đó giảm giá trị giới hạn tới đại lượng tối thiểu tuyệt đối. Đây là đạo hàm cuối cùng, dx/dy (để đạo hàm chỉ xuất hiện sau quá trình vi phân)¹⁸. Đại lượng x₁ mặc dù thu được từ biến số x, không biến mất mà chỉ giảm xuống giá trị giới hạn tối thiểu của nó¹⁹. Hãy xem xét cách Marx tính đạo hàm của y=x³

Nếu x₀ tăng tới x₁, y₀ tăng tới y₁. Giả sử x₁–x₀=Δx và y₁-y₀=Δy 
(1)   Δy/Δx =(y₁-y₀)/(x₁–x₀)=(x₁³–x₀³)/(x₁–x₀).

Do 
(2)   (x₁³–x₀³)=(x₁–x₀)(x₁²+x₁x₀+x₀²)

Ta đem thay (2) vào (1) 
(3)   Δy/Δx =[(x₁–x₀)(x₁²+x₁x₀+x₀²)]/(x₁–x₀)

Và thu được đạo hàm sơ bộ 
(4)   Δy/Δx =x₁²+x₁x₀+x₀²

Đạo hàm cuối cùng do đó là “đạo hàm sơ bộ giảm tới đại lượng nhỏ tuyệt đối”²⁰. Hai phương pháp cùng tạo ra một kết quả nhưng có nhiều sự khác nhau giữa chúng. Thứ nhất, “xuất phát điểm … là các cực đối lập cũng như phương pháp triển khai diễn ra”²¹. Trong trường hợp thứ nhất x₀+dx=x₁ (“phương pháp dương”); trong trường hợp thứ hai (Marx) thì x₀ tăng tới x₁, có nghĩa là x₁–x₀=Δx (“phướng pháp âm”²²). “Một phương pháp thể hiện cùng một nội dung như phương pháp khác: dạng thứ nhất là Δx âm, dạng còn lại là số gia h dương”²³. Trong phương pháp dương “khởi đầu chúng ta nhận định sự khác biệt mà sự đối lập của nó như là một tổng số”²⁴.Phương pháp thứ hai, trình tự cũng khác biệt: phân số Δy/Δx được chuyển đổi thành dy/dx và kết quả đạo hàm được thu được sau khi tính đạo hàm, sau khi x₁ giảm tới đại lượng tối thiểu tuyệt đối. Trong phương pháp dương, “đạo hàm do đó không có cách nào thu được bằng phép toán vi phân trái lại mở rộng đơn giản hàm f(x+h) hay y₁ trong một biểu hiện xác định thu được bằng phép nhân đơn giản”²⁵. Có thể lập luận rằng những sự khác biệt này không đáng chú ý do cả hai đều chỉ sử dụng đại số sơ cấp và chia gia lượng của định lượng, y, phụ thuộc vào một đại lượng khác, x, bởi gia lượng của x²⁶. Hơn nữa, từ quan điểm toán học, phương pháp của Marx là giới hạn về khả năng áp dụng “bởi vì thường là không thể chia f(x₁)-f(x₀) cho x₁-x₀.”²⁷ Mặc dù vậy, cũng có thể lập luận rằng phương pháp của Marx đáng chú ý về mặt lịch sử. Phương thức tính toán của ông cho phép nhận thấy rằng dy/dx không phải là tỷ số giữ hai số 0 mà là một biểu tượng cho thấy trình tự trước hết là tăng x₀ tới x₁ (và do đó y₀ tới y₁) và sau đó giảm x₁ (cùng với y₁) tới giá trị tối thiểu, x₀ và y₀. Khám phá của Marx cho thấy dy/dx là một biểu tượng vận động đã thấy trước “một ý tưởng chỉ xuất hiện lại vào thế kỷ 20”²⁸ Sự trình bày của Marx về dy/dx như là một biểu tượng vận động, “sự biểu hiện của một quá trình” và “biểu tượng của một quá trình hiện thực” là một thành tích thực sự, một sự phê phán nổi bật đối với những nền tảng “thần bí” của phép toán vi phân, đối với bản chất siêu hình của các vi đại lượng vừa không hữu hạn vừa không là 0²⁹.

Như đã trình bày, những xem xét này mang lại lợi ích nhỏ đối với mục đích hiện tại. Điểm mấu chốt là phân tích về phương pháp cho thấy sự thấu hiểu quan trọng đối với khái niệm của Marx về biện chứng như đã đề cập ở trên³⁰. Hãy cùng xem xét những nguyên lý đã ẩn chứa trong Bản thảo. Thứ nhất, đối với Marx, khái niệm về các vi đại lượng, về một giới hạn gần đúng bằng 0, của một thứ không phải là số hay 0, cần phải phủ nhận như là “siêu hình”, như con quái vật “Chimera”. Trong phương pháp của ông, đầu tiên x₀ tăng tới x₁ (có nghĩa là bởi dx) và sau đó x₁ giảm xuống x₀, như vậy x₁ không biết mất mà chỉ giảm tới giá trị giới hạn tối thiểu x₀. Do vậy, dx, thay vì đồng thời vừa là 0 vừa không phải là 0, thì trước hết là một số thực và sau đó được đặt bằng 0. Đây là lý thuyết hóa quá trình hiện thực, nhất thời. Theo cách này, Marx thoát khỏi khái niệm “ma quỷ” về đạo hàm. Khái niệm dx=0 và dy=0 là biểu tượng của quá trình này, không phải là các số thực bị chia cho 0³¹.

Thứ hai, trong phương pháp “dương”, vận động là kết quả của một đại lượng (nhỏ) (dx) thêm vào x₀, là một hằng số. Có nghĩa là x₀ vẫn được giữ nguyên là hằng số, do đó vận động và thay đổi chỉ tác động đến một phạm vi giới hạn của hiện thực³². Điểm khởi đầu là một hằng số, không vận động và thay đổi, đối với nó sự thay đổi chỉ được bổ sung như là phần phụ thêm. Đây là quan điểm hiện thực thống kê chỉ bị nhiễu loạn tạm thời bởi sự vận động, hơn nữa chỉ được áp dụng cho phần vô cùng nhỏ của hiện thực. Suy luận tương tự với cân bằng và phi cân bằng (sai lệch tạm thời khỏi cân bằng) trong khoa học xã hội với chủ nghĩa cận biên trong kinh tế là rõ ràng. dx được thêm x từ bên ngoài x. Sự vận động không được thúc đẩy bởi bản chất bên trong của cấu trúc mà là kết quả của các lực lượng bên ngoài. Phía sau “dạng dương” là giải thích thống kê về hiện thực, còn phía sau dạng kia là quan điểm động lực.  

Đối với Marx “x₁ là sự gia tăng của bản thân x; sự tăng trưởng của nó không tách rời nó … Công thức này không tách biệt x, cụ thể là x₁, khỏi dạng nguyên gốc trước khi tăng lên, từ x, nhưng nó cũng không tách biệt x khỏi phần gia lượng của nó”³³. Trong phương pháp của Marx, đó là tổng thể, x₀ vận động, nó tăng lên x₁ bằng dx. Sự vận động từ x₀ tới x₁ (xuất phát điểm của Marx) và quay trở lại (điểm kết thúc) cho thấy một sự thay đổi trong toàn bộ hiện thực, ngay cả khi do tác động của một phần tối thiểu. x₀ không thể tăng lên do Δx (hay dx) mà không biến thành x₁; sự thay đổi trong một phần hiện thực (mặc dù là nhỏ) thay đổi toàn bộ hiện thực do sự liên hệ qua lại giữa tất các các phần cấu thành của hiện thực. Đây là quan điểm động lực mà theo đó sự thiếu vắng vận động cũng như thay đổi không có tác dụng. x₀ có thể tăng tới x₁ chỉ bởi vì x+dx đã hàm chứa trong x như là một trong những tiềm năng của nó. Sau đó, phương pháp của Marx hàm ý rằng x hàm chứa trong phạm vi bản thân x+dx, sau đó hiện thực hóa bản thân như là x+dx, nếu x+dx chuyển thành x thì nó lại trở thành tiềm năng nằm trong x. Ngay cả khi không được Marx khẳng định một cách rõ ràng thì phương pháp của ông giả định rằng quan điểm biện chứng được tạo áp dụng trong trường hợp này đã phân biệt giữa kết quả và tiềm năng³⁴. Thực tế, đây có thể không phải là cách mà khái niệm dx của toán học hiện đại bất hòa với những mục đích này.

Đó là một khía cạnh, mặc dù vậy điều đó có thể trái ngược với khái niệm biện chứng được phát triển ở đây. Marx đề cập trong thoáng qua (chỉ một lần duy nhất) rằng phương pháp tiếp cận hai bước của đạo hàm là một ví dụ về phủ định của phủ định: “Toàn bộ khó khăn trong việc thấu hiểu tính toán vi phân (như phủ định của phủ định nói chung) nằm một cách chính xác ở chỗ xem xét nó tách biệt khỏi một phương pháp đơn giản ra sao và do đó dẫn tới các kết quả hiện thực”³⁵. Điều này dương như là trong phép toán vi phân, nếu thoát khỏi phương pháp tiếp cận siêu hình, quay sang phủ định biện chứng”³⁶. Một sự lựa chọn khác, người ta sẽ bị lôi cuốn vào việc xem xét nó như là ví dụ về việc Marx làm đỏm với phương thức trình bày kỳ dị kiểu Hegel. Nhưng Marx viết rằng ông đã làm đỏm với thuật ngữ của Hegel vào năm 1873 trong khi bản thảo đang xem xét được viết vào năm 1881.

Trích dẫn phía trên có thể giải thích theo hai cách khác nhau. Thứ nhất, có thể là Marx nghĩ rằng phủ định của phủ định là một khái niệm đúng cho cả khoa học tự nhiên và xã hội. Điều này sẽ mâu thuẫn với lý thuyết được thúc đẩy trong công trình này theo nghĩa là nó sẽ chỉ tập trung vào sự tương đồng có tính hình thức. Ví dụ, người ta có thể cho rằng x₀ bị x₁ phủ định và sau đó x₁ lại bị x₀ phủ định. Nhưng sự phủ định kép này hoàn toàn khác so với hiện thực xã hội. Sự vận động (1) chỉ là một sự thay đổi về lượng từ x₀ tới x₁ và ngược lại, có nghĩa là không có sự thay đổi về chất; và (2) không có giải thích về lực lượng tiềm tàng trong x₀, khiến nó biến đổi thành x₁ và ngược lại. Trong xã hội, giải thích phủ định của phủ định về khả năng các hiện tượng xã hội thay thế bản thân bằng cách tự tạo ra các điều kiện cho sự thay thế là nhờ bản chất mâu thuẫn của chúng. Đây không phải là môi trường của phép đạo hàm. Nếu đây là tình thế của Marx, ông sẽ đồng ý với Engels, người coi các quy luật biện chứng là “đúng với sự vận động trong tự nhiên và lịch sử nhân loại và với sự vận động của tư duy”³⁷. Mặc dù vậy, nếu câu hỏi là giải thích sự mâu thuẫn, vận động mâu thuẫn, thì không có sự phủ định của phủ định trong quá trình đạo hàm cũng như không có sự phủ định của phủ định trong toán học.

Lập luận toán học dựa trên logic hình thức, thứ logic loại trừ các mâu thuẫn và do đó là vận động mâu thuẫn. Marx đồng ý rằng toán học có thể giải thích sự vận động: “phương pháp đại số … [là] sự đối lập rõ ràng [của] phương pháp vi phân”³⁸ bởi vì phương pháp thứ nhất là phân tích về đại lượng thống kê trong khi phương pháp thứ hai phân tích sự thay đổi của các đại lượng. Mặc dù vậy, bất chấp sự khác biệt này, cả hai nhánh của toán học cùng có một đặc trưng là làm việc với các đại lượng và do đó là sự thay đổi về lượng mà không thể có thay đổi về chất và mâu thuẫn. Nếu toán học chỉ làm việc với định lượng thì nó chỉ làm việc trong vương quốc của hiện thực hóa (tức là không ở trong vương quốc của khả năng). Do đó, nó không thể xử lý các mâu thuẫn biện chứng và sự thay đổi về chất. Toán học trừu tượng hóa các hiện thực cụ thể. Các khái niệm của nó có thể áp dụng cho mọi vương quốc hiện thực có thể định lượng và vì lý do này nó không tìm kiếm sự xác thực trong các sự vật cụ thể. Mặt khác, logic biện chứng là sự tập trung mang tính lý thuyết của hiện thực cụ thể (xem Chương 1, Phần 7). Vì lý do đó, nó tìm kiếm sự xác thực trong hiện thực đó. Nhưng cũng có khả năng là Marx đề cập tới sự phủ định của phủ định, trong cả khoa học tự nhiên và xã hội, cùng chung đặc điểm là dẫn tới “kết quả hiện thực”, bất chấp sự khác biệt của chúng. Trong trường hợp này, sẽ có một sự đồng thuận với lý thuyết hiện tại về quy định biện chứng.      

Bất kể thế nào, kết luận quan trọng là Marx tính vi phân với con mắt của nhà khoa học xã hội, của nhà biện chứng học. Phương pháp vi phân của ông phản ánh một quá trình hiện thực, nhất thời mà trong đó một trường hợp thực (một số thực) không thể đồng thời là một trường hợp thực khác (số 0) và trong đó sự vận động tác động tới tổng thể thay vì chỉ là một phần và kết quả của sự tác động qua lại giữa các tiềm năng và đó là thứ được hiện thực hóa. Phương pháp tính vi phân của Marx chỉ phù hợp với phương pháp tiếp cận động lực và nhất thời (và không phù hợp với phương pháp tiếp cận mà trong đó thời gian không tồn tại, như phương pháp đồng thời trong kinh tế học), tổng quát hơn, với khái niệm biện chứng như đã trình bày. Kết luận này rất phù hợp với tranh luận giữa các nhà Marxist cho rằng trong lý thuyết của Marx thì thời gian là sự kết hợp cần thiết của động lực, một hệ thống không cân bằng và những người trung thành với một hệ thống không có thời gian và vận động (xem Chương 2 phía trên). Câu hỏi không phải là phương pháp của Marx (bất kể trường hợp nào, chính xác trong giới hạn của nó) có phù hợp với toán học hay lịch sử của toán học hay không³⁹. Câu hỏi phải là Bản thảo có thực sự phù hợp với các nhà khoa học xã hội quan tâm đến việc khám phá và tiếp tục phát triển khái niệm biện chứng của Marx như là phương pháp nghiên cứu xã hội và là một công cụ để thay đổi xã hội hay không.

Chú thích

¹ Phụ lục này được chỉnh sửa từ bài viết của Carchedi ở 2008a và của Carchedi ở 2008b. Hai phiên bản trước nhận được những bình luận của Hans van den Bergh, giáo sư toán học tại trường đại học Wagenningen, của Josephn Dauben, giáo sư (Distinguished Professor) về lịch sử và lịch sử khoa học, đại học Thành Phố New York, và Alain Alcouffe, giáo sư khoa học xã hội, đại học Toulouse. Sự thay đổi đã được báo trước. Xem Carchedi 2008b.

² Xem Alcouffe 1985 và 2001; Antonova 2006; Blunden 1984; Engels 1983 và 1987; Gerdes 1985; Yanovskaya 1969 và 1983; Kennedy 1977; Lombardo Radice 1972; Smolinski 1973.

³ Alcouffe 1985, trang 40–41.

⁴ Yanovskaya 1969, trang 23.

⁵ Marx 1978.

⁶ Marx 1974.

⁷ Marx 1976.

⁸ Smolinski 1973, trang 1199.

⁹ Alcouffe 1985, trang 37.

¹⁰ Điểm này khác với quan điểm của Alcouffe là xử lý toán học hình thức đối với quy luật khuynh hướng tỷ suất lợi nhuận suy giảm sẽ được “đặc biệt hoan nghênh” (sách đã dẫn).

¹¹ Smolinski 1973, trang 1189.

¹² Sách đã dẫn

¹³ Smolinski 1973, trang 1190.

¹⁴ Carchedi 1987. Theo Dauben, “Nghiên cứu Bản thảo Toán học của Marx có tác động chủ chốt đối với nghiên cứu của Soviet trong lịch sử và triết học về toán học, khởi đầu vào những năm 1930. Điều này là thật trong lịch sử toán học, khi mà hầu như toàn bộ các công trình công bố giữa năm 1930 và 1950 đều liên quan đến bản thảo. Mặc dù vậy, lịch sử của toán học cũng nhận được sự thúc đẩy đáng kể nhờ những gì Marx đã viết … Do vậy sự đáng chú ý của khám phá và nghiên cứu bản thảo toán học của Marx ở Liên Bang Soviet có thể đánh giá theo nhiều phương diện khác nhau. Đánh giá về việc các công trình biên tập về bản thảo đã thúc đẩy nghiên cứu trong những năm 1930 của lịch sử toán học, hiệu ứng của việc đó là tích cực. Đặc biệt là bản thảo cung cấp một nhân tố căn bản cho việc nghiên cứu nghiêm túc lịch sử của phân tích. Cũng có thể rút ra là để thừa nhận Marx hoàn toàn thì cần phải nghiên cứu lịch sử toán học một cách tổng quát. Đáng tiếc là đối các nền tảng toán học liên quan được quan tâm thì Marx và bản thảo hầu như chỉ có tác động tiêu cực. Điều này là do khuynh hướng ban đầu của các nghiên cứu cơ bản tập trung hầu hết vào việc diễn giải biện chứng toán học theo học thuyết cơ bản của Marx. Đối với sự tự phát triển nội tại và kỹ thuật của toán học, bản thảo của Marx dường như không đóng một vai trò đáng kể nào, dù là tích cực hay tiêu cực”. Dauben 2003, trang 2-3.

¹⁵ Gerdes 1985, trang 24–30. Xem Struik 1948, trang 187 và ff.

¹⁶ Marx 1983a, trang 91.

¹⁷ Sách đã dẫn

¹⁸ Về công thức chính xác hơn trên phương diện toán học trong phương pháp của Marx, xem Marx 1983a, ghi chép 7, trang 195–6.

¹⁹ Marx 1983a, trang 7; bổ sung gạch chân.

²⁰ Sách đã dẫn

²¹ Marx 1983a, trang 68.

²² Marx 1983a, trang 88.

₂₃ Marx 1983a, trang 128.

²⁴ Marx 1983a, trang 102.

²⁵ Marx 1983a, trang 104.

²⁶ Tôi biết ơn Hans van den Berg về trao đổi cá nhân.

²⁷ Gerdes 1985, trang 7.

²⁸ Kolmogorov, được trích dẫn trong Gerdes trang 75. Theo Lombardo Radice, Marx không biết gì về các cơ sơ quan trọng của giải tích, từ Cauchy tới Weierstrass, đó là điều khẳng định “thiên tài” của ông trong việc phê phán độc lập nền tảng “thần bí” của phép toán (Lombardo Radice 1972, trang 274).

²⁹ Lombardo Radice, được trích dẫn trong Ponzio 2005, trang 23.

³⁰ Quan điểm này khác với diễn giải của Alcouffe rằng “hình thức hóa một khoa học xã hội, nhất là một khoa học phế phán” phải được tìm kiếm trong tác phẩm Khoa học về Logic của Hegel (Alcouffe 1985, trang 104). Như đã lập luận phía trên, nhất là tại Chương 1, cần phải tìm kiếm và bóc tách từ công trình của Marx.

³¹ Điều tương tự được Yanovskaya đưa ra. Theo Gerdes, “một số nhà khoa học giải thích các vi đại lượng hay các đại lượng vô cùng nhỏ theo khái niệm về bản chất biện chứng của đối lập – vừa bằng 0 vừa khác 0. Yanovskaya gọi các nhà khoa học này là “Marxist giả hiệu” do họ quên mất rằng chủ nghĩa duy vật biện chứng không thừa nhận mâu thuẫn thống kê (=0 và #0), mà chỉ thừa nhận mâu thuẫn liên hệ với vận động.” (Gerdes 1985, trang 115-116).

³² Trong một lá thư gửi Marx vào năm 1882, Engels viết: “sự khác biệt căn bản giữa phương pháp của anh và phương pháp cũ là anh cho x thay đổi sang x’, do đó làm cho chúng thật sự biến đổi, trong khi cách kia bắt đầu bằng x+h, luôn chỉ là tổng của hai số lượng, nhưng không bao giờ là sự biến thiên của một số lượng.” Engels 1983, trang xxix.

³³ Marx 1983a, trang 86.

³⁴ Trái lại, trong hiện thực xã hội, một sự hiện tượng xã hội có thể giảm về kích thước tới một điểm khi nó trở thành hiện tượng cá biệt, một hiện tượng xã hội tiềm năng. Nhưng trong hiện thực xã hội thì khái niệm về vi đại lượng là vô nghĩa.

³⁵ Marx 1983a, trang 3.

³⁶ Ponzio 2005, trang 33. Xem Kennedy 1977, trang 311.

³⁷ Được trích dẫn trong Gerdes 1985, trang 88.

³⁸ Marx 1983a, trang 21.

³⁹ Dauben gợi lên sự chú ý tới mối liên hệ giữa phân tích phi chuẩn mực và Bản thảo Toán học của Marx ở Trung Quốc: “Gần một thế kỷ sau Marx, các nhà toán học Trung Quốc đã liên kết một cách rõ ràng tư tưởng Marxist và các nền tảng toán học thông qua một chương trình mới diễn giải phép toán sử dụng vi lượng, như Marx đã dự báo, nhưng hiện giờ là theo các khái niệm chặt chẽ của phân tích phi chuẩn mực, phát minh của Abraham Robinson vào những năm 1960. Trong thời kỳ Cách mạng Văn hóa (1966-1976), toán học bị hoài nghi ở Trung Quốc do quá trừu tượng, tách biệt khỏi mối quan tâm của người bình thường và nỗ lực đáp ứng các nhu cầu thiết yếu của đời sống trong một xã hội hầu hết là nông nghiệp. Mặc dù vậy, khi các nhà toán học Trung Quốc khám phá ra bản thảo toán học của Karl Marx, chúng dường như đem lại một cơ sở mới mẻ để biện minh cho toán học trừu tượng, đặc biệt là liên quan tới các đánh giá cơ bản và mang tính phê phán của phép toán” (Dauben 2003, trang 328). Lưu ý rằng điều này dường như không đưa ra câu trả lời cho vấn đề câu hỏi quan trọng của Marx là gì, tức là bản chất tự nhiên của các vi đại lượng hay số lớn. Giả thuyết về một “đám mây” các số siêu thực trôi nổi li ti gần với mỗi con số trên đường ^*R không trả lời câu hỏi của Marx.